Question

已知方程x²-2ax+b²=0的系數(shù)a在[0，2]內(nèi)取值，b在[0，3]內(nèi)取值，求使方程沒有實(shí)根的概率．

Answer 1

分析：由a從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)得試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}，而方程f（x）=0沒有實(shí)根構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}，分別求出兩個(gè)區(qū)域面積即可得到概率．

解答：解：∵a從區(qū)間[0，2]中任取一個(gè)數(shù)，b從區(qū)間[0，3]中任取一個(gè)數(shù)
則試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成區(qū)域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}這是一個(gè)矩形區(qū)域，其面積S_Ω=2×3=6
設(shè)“方程f（x）=x²-2ax+b²=0沒有實(shí)根”為事件B
則事件B構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a≤b}即圖中陰影部分的梯形，其面積SM=6-

1

2

×2×2=4
由幾何概型的概率計(jì)算公式可得方程f（x）=0沒有實(shí)根的概率P（B）=

SM

SΩ

=

4

6

=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，以及幾何概型的概率計(jì)算，屬于中檔題．