拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，以x軸為對(duì)稱軸，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為135°的直線被拋物線所截得的弦長(zhǎng)為8，試求拋物線方程．

 

【答案】

 

如圖所示，依題意，設(shè)拋物線方程為y2＝2px，則直線方程為y＝－x＋p.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)、B(x2，y2)兩點(diǎn)，過(guò)A、B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為C、D.

則由拋物線定義得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋＋x2＋，………………4分

即x2＋＋x2＋＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是拋物線和直線的交點(diǎn)，

由消去y，得x2－3px＋＝0，

Δ＝9p2－4×＝8p2＞0.

所以x1＋x2＝3p.

將其代入①得p＝2，

所以所求拋物線方程為y2＝4x.

當(dāng)拋物線方程設(shè)為y2＝－2px(p＞0)時(shí)，

同理可求得拋物線方程為y2＝－4x.

故所求拋物線方程為y2＝4x或y2＝－4x.………………8分

【解析】略

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

13、拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線x-y+4=0上，則此拋物線方程為
y2=-16x或x2=16y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x=-2，則拋物線的方程是（　�。�
A、y2=-8xB、y2=8xC、y2=-4xD、y2=4x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•江蘇一模）本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解、推理論證的能力．
如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy，拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為F（1，0）．過(guò)拋物線在x軸上方的不同兩點(diǎn)A、B，作拋物線的切線AC、BD，與x軸分別交于C、D兩點(diǎn)，且AC與BD交于點(diǎn)M，直線AD與直線BC交于點(diǎn)N．
（1）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求證：MN⊥x軸；
（3）若直線MN與x軸的交點(diǎn)恰為F（1，0），求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，且焦點(diǎn)在直線x-y+2=0上，則此拋物線方程為
y2=-8x或x2=8y
y2=-8x或x2=8y
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)實(shí)軸長(zhǎng)為4
3
的橢圓的中心在原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F1，，F(xiàn)2在x軸上．拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O，對(duì)稱軸為y軸，兩曲線在第一象限內(nèi)相交于點(diǎn)A，且AF1⊥AF2，△AF1F2的面積為3．
（Ⅰ）求橢圓和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)A作直線l分別與拋物線和橢圓交于B，C，若
AC
=2
AB
，求直線l的斜率k．

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