Question

已知某質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為s（t）=t³+bt²+ct+d，如圖是其運(yùn)動(dòng)軌跡的一部分，若t∈[

1

2

，4]時(shí)，s（t）＜3d²恒成立，求d的取值范圍．

Answer 1

s'（t）=3t²+2bt+c．
由圖象可知，s（t）在t=1和t=3處取得極值．
則s'（1）=0，s'（3）=0．
即

3+2b+c=0 27+6b+c=0

解得

b=-6 c=9

s'（t）=3t²-12t+9=3（t-1）（t-3）．
當(dāng)t∈[

1

2

，1）時(shí)，s'（t）＞0．
當(dāng)t∈（1，3）時(shí)，s'（t）＜0．
當(dāng)t∈（3，4）時(shí)，s'（t）＞0．
則當(dāng)t=1時(shí)，s（t）取得極大值為4+d．
又s（4）=4+d，
故t∈[

1

2

，4]時(shí)，s（t）的最大值為4+d．
已知s（t）＜3d²在

1

2

，4]上恒成立，
∴s（t）_max＜3d²．即4+d＜3d²．
解得d＞

4

3

或d＜-1．
∴d的取值范圍是{d|d＞

4

3

或d＜-1}．