Question

【題目】數(shù)列{an}滿足a1=1， （n∈N+）．
（1）證明：數(shù)列 是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（3）設bn=n（n+1）an ， 求數(shù)列{bn}的前n項和Sn ．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由已知可得 ，

即 ，

即

∴數(shù)列 是公差為1的等差數(shù)列

（2）解:知 ，

∴

（3）解: 由（2）知bn=n2n

Sn=12+222+323++n2n

2Sn=122+223+…+（n﹣1）2n+n2n+1

相減得： =2n+1﹣2﹣n2n+1∴Sn=（n﹣1）2n+1+2

【解析】（1）由已知中 （n∈N+），我們易變形得： ，即 ，進而根據(jù)等差數(shù)列的定義，即可得到結(jié)論；（2）由（1）的結(jié)論，我們可以先求出數(shù)列 的通項公式，進一步得到數(shù)列{an}的通項公式an；（3）由（2）中數(shù)列{an}的通項公式，及bn=n（n+1）an ， 我們易得到數(shù)列{bn}的通項公式，由于其通項公式由一個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列相乘得到，故利用錯位相消法，即可求出數(shù)列{bn}的前n項和Sn ．
【考點精析】利用數(shù)列的前n項和和數(shù)列的通項公式對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知數(shù)列{an}的前n項和sn與通項an的關(guān)系；如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式．