Question

【題目】已知點(diǎn)在拋物線上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，又過A，B兩點(diǎn)分作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)．記直線PA、PB的斜率分別為和．

（1）求的值；

（2），，求四邊形PAEG面積的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）設(shè)的方程為，根據(jù)點(diǎn)在拋物線上，解得，得到拋物線的方程，聯(lián)立，得，設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，，然后利用韋達(dá)定理求解.

（2）由（1）可得直線PA的方程為，直線PB的方程為，兩式聯(lián)立得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再求弦長(zhǎng)及點(diǎn)P到直線AB的距離，得到，用導(dǎo)數(shù)法求得求最小值，再根據(jù)，，得到ABGE是平行四邊形，由求解.

（1）由題意設(shè)的方程為，

因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，

∴，

∴拋物線的方程為．

聯(lián)立，得．

，

設(shè)，則．

設(shè)直線PA，PB的斜率分別為，，

對(duì)求導(dǎo)得，

∴，，

∴.

（2）如圖所示：

由（1）可得直線PA的方程為①

直線PB的方程為，②

聯(lián)立①②，得點(diǎn)P的坐標(biāo)為，

由（1）得，，

∴，

于是，

點(diǎn)P到直線AB的距離，

∴，

，

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，

所以時(shí)，的面積取得最小值．

又，，

∴，且

所以ABGE是平行四邊形，

所以．