Question

(本小題14分) 已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1。

（1）求a，b，c的值；

（2）若x₁，x₂∈[-1，1]，求證：|f（x₁）-f（x₂）|≤2；

（3）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，使過(guò)A， B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB。

 

Answer 1

【答案】

（1），b=0

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040409402187504748/SYS201304040941105781186993_DA.files/image002.png">，那么可以運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性放縮來(lái)得到解決問(wèn)題。

（3）對(duì)于探索性試題的分析，假設(shè)存在，然后根據(jù)過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線平行，得到斜率相等，同時(shí)根據(jù)過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB

，則斜率之積為-1，得到方程，通過(guò)方程無(wú)解說(shuō)明假設(shè)不成立，進(jìn)而得到證明。

【解析】

試題分析：（1）函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，

∴即對(duì)于恒成立，

∴b=0

∴

∵x=-1時(shí)，函數(shù)取極值1，∴3a+c=0，-a-c=1

解得：

（2）

＜0，∴

（3）設(shè)

∵過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線平行，

∴可得

∵，∴，則

由于過(guò)A點(diǎn)的切線垂直于直線AB，

∴

∴∵△=-12＜0

∴關(guān)于x₁的方程無(wú)解。

∴曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B，過(guò)A，B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB

考點(diǎn)：本試題考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問(wèn)題主要涉及到了函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值以及最值問(wèn)題，那么同時(shí)要熟練的掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示切線方程。而對(duì)于不等式的恒成立問(wèn)題，一般將其轉(zhuǎn)換為分離參數(shù)的思想來(lái)求解不等式的成立，主要是通過(guò)最值來(lái)完成證明，屬于中檔題。