Question

（本小題14分）已知函數(shù) 

（Ⅰ）若且函數(shù)在區(qū)間上存在極值，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）如果當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅲ）求證：，…….

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ） ；（Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。求解函數(shù)的極值，和不等式的恒成立問題，以及證明不等式。

解：（Ⅰ）因為， x 0，則，

求解導(dǎo)數(shù)，判定函數(shù)單調(diào)性，得到極值。

因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

得到參數(shù)k的范圍。

（Ⅱ）不等式，又，則 ，構(gòu)造新函數(shù),則 

 令，則，

分析單調(diào)性得到證明。

（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，

令 ，則；可以證明。

 

解：（Ⅰ）因為， x 0，則，

當時，；當時，.

所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)在處取得極大值；……….2分

因為函數(shù)在區(qū)間（其中）上存在極值，

所以 解得；……….4分

（Ⅱ）不等式，又，則 ，,則；……….6分

 令，則，

，在上單調(diào)遞增，，

從而， 故在上也單調(diào)遞增， 所以，

所以.  ；……….8分

（Ⅲ）由（2）知：當時，恒成立，即，，

令 ，則；……….10分

所以 ，，……

,

n個不等式相加得

即……….14分