求下列冪函數(shù)的定義域,并指出其奇偶性、單調(diào)性.

(1)y=;(2)y=;(3)y=;(4)y=x-2

問(wèn)題1:觀察以上函數(shù)的解析式,你能發(fā)現(xiàn)解析式中對(duì)于自變量x都有哪些限制條件嗎?

問(wèn)題2:如何來(lái)判斷函數(shù)的奇偶性呢?

3.探究:請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)我們以上的分析,把上述函數(shù)圖象的大概形狀畫(huà)出來(lái).并總結(jié)歸納冪函數(shù)的指數(shù)變化時(shí)對(duì)冪函數(shù)定義域的影響.

答案:
解析:

  解:(1)函數(shù)y=即y=,其定義域?yàn)閇0,+∞),所以它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

  (2)函數(shù)y=即y=,其定義域?yàn)?B>R,是偶函數(shù),它在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減.

  (3)函數(shù)y=即y=,由x3>0得其定義域?yàn)?0,+∞),所以它既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù),在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

  (4)函數(shù)y=x-2即y=,由x2≠0得其定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞),因此函數(shù)y=x-2在定義域上是偶函數(shù),在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞增,在(0,+∞)上單調(diào)遞減.

  3.(1)αN+時(shí),x∈R;

  (2)αZα≤0時(shí),x∈(-∞,0)∪(0,+∞);

  (3)α(其中m,n互質(zhì),且m,n∈N+)時(shí),若m是偶數(shù),則x∈{非負(fù)實(shí)數(shù)},若m是奇數(shù),則x∈R

  (4)α=-(其中m,n互質(zhì),且m,n∈N+)時(shí),若m是偶數(shù),則x∈{正實(shí)數(shù)},若m是奇數(shù),則x∈(-∞,0)∪(0,+∞).

  點(diǎn)評(píng):這兩個(gè)變式考查了冪函數(shù)的定義和冪函數(shù)圖象特征的綜合應(yīng)用,尤其是冪指數(shù)的值對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性以及奇偶性的影響,這是學(xué)生在充分掌握冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)上才能解決的問(wèn)題.


提示:

  1.結(jié)論:在函數(shù)解析式中含有分?jǐn)?shù)指數(shù)時(shí),可以把它們的解析式化成根式,根據(jù)“偶次根號(hào)下非負(fù)”這一條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域;當(dāng)函數(shù)的解析式的冪指數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí),根據(jù)負(fù)指數(shù)冪的意義將其轉(zhuǎn)化為分式形式,根據(jù)“分式的分母不能為0”這一限制條件來(lái)求出對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域.

  2.結(jié)論:首先要看函數(shù)的定義域是否關(guān)于數(shù)0對(duì)稱,然后根據(jù)定義域內(nèi)的任意自變量x是否有f(-x)=f(x),或f(-x)=-f(x)來(lái)進(jìn)行判斷.


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我們把同時(shí)滿足下列兩個(gè)性質(zhì)的函數(shù)稱為“和諧函數(shù)”:
①函數(shù)在整個(gè)定義域上是單調(diào)增函數(shù)或單調(diào)減函數(shù);
②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q),使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
(1)已知冪函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,2),判斷g(x)=f(x)+2(x∈R)是否是和諧函數(shù)?
(2)判斷函數(shù)h(x)=
1-x2(x≥1)
2-2x(x<1)
是否是和諧函數(shù)?
(3)若函數(shù)φ(x)=
x2-1
+t(1≤x≤
6
2
)
是和諧函數(shù),求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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②在函數(shù)的定義域內(nèi)存在區(qū)間[p,q](p<q),使得函數(shù)在區(qū)間[p,q]上的值域?yàn)閇p2,q2].
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