Question

已知點F（1，0），直線l：x=2，設(shè)動點P到直線l的距離為d，已知|PF|=

2

2

d且

2

3

≤d≤

3

2

．
（1）求動點P的軌跡方程；
（2）若

PF

•

OF

=

1

3

，求向量

OP

與

OF

的夾角．

Answer 1

分析：（1）利用兩點的距離公式及點到直線的距離公式將已知幾何條件用坐標(biāo)表示，化簡求出軌跡方程，注意求出定義域．
（2）求出三個向量的坐標(biāo)，先利用向量的坐標(biāo)形式數(shù)量積公式求出數(shù)量積，列出方程求出x，代入軌跡方程，求出點的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積公式求出兩個向量的夾角．

解答：解：（1）設(shè)動點P的坐標(biāo)為（x，y），則 |PF|=

(x-1)2+y2

，d=|2-x|，
∴

(x-1)2+y2

|2-x|

=

2

2

化簡得

x2

2

+y2=1
又

2

3

≤d=2-x≤

3

2

∴

1

2

≤x≤

4

3

即動點p的軌跡方程為

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)
（2）∵

PF

=(1-x，-y)，

OF

=(1，0)，

OP

=(x，y)
∴

PF

•

OF

=1-x=

1

3

∴x=

2

3

，代入

x2

2

+y2=1(

1

2

≤x≤

4

3

)得 y=±

7

3

∴

OP

=(

2

3

，

7

3

)或(

2

3

，-

7

3

)∴cos＜

OP

，

OF

＞=

OP • OF

| OP || OF |

=

2 11

11

∴

OP

與

OF

的夾角為arccos

2 11

11

．

點評：本題考查求向量的夾角需要考慮利用向量的數(shù)量積、考查求軌跡方程時，在化簡方程時要注意同解變形，求出方程的定義域、考查解決焦點三角形問題常考慮利用圓錐曲線的定義．