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如圖，已知平面內一動點到兩個定點、的距離之和為，線段的長為.

（1）求動點的軌跡；
（2）當時，過點作直線與軌跡交于、兩點，且點在線段的上方，線段的垂直平分線為
①求的面積的最大值；
②軌跡上是否存在除、外的兩點、關于直線對稱，請說明理由.

（1）參考解析；（2）①；②參考解析

解析試題分析：（1）由于c的大小沒確定，所以點A的軌跡，根據c的大小有三種情況.
（2）①由可得點A的軌跡方程為橢圓，求的面積的最大值即求出點A到直線距離的最大值.即點A在橢圓的上頂點上即可.本小題通過建立三角函數同樣可以求得三角形面積最大時的情況.
②當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對稱.當直線AC不垂直于時，不存在除、外的兩點、關于直線對稱.通過假設存在，利用點差法即可得到，.由于H,M分別是兩條弦的中點，并且都被直線m平分.所以.由.所以不存在這樣的直線.
試題解析：（1）當即時，軌跡是以、為焦點的橢圓3分
當時，軌跡是線段4分
當時，軌跡不存在5分
（2）以線段的中點為坐標原點，以所在直線為軸建立平面直角坐標系，
可得軌跡的方程為7分
①解法1：設表示點到線段的距離
，8分
要使的面積有最大值，只要有最大值
當點與橢圓的上頂點重合時，
的最大值為10分
解法2：在橢圓中，設，記
點在橢圓上，由橢圓的定義得：

在中，由余弦定理得：
配方，得：
從而

得8分
根據橢圓的對稱性，當最大時，最大
當點與橢圓的上頂點重合時，
最大值為10分
②結論：當時，顯然存在除、外的兩點、關于直線對

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知、為橢圓的左右焦點，點為其上一點，且有
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過的直線與橢圓交于、兩點，過與平行的直線與橢圓交于、兩點，求四邊形的面積的最大值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設橢圓的中心和拋物線的頂點均為原點，、的焦點均在軸上，過的焦點F作直線，與交于A、B兩點，在、上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：


（1）求，的標準方程；
（2）若與交于C、D兩點，為的左焦點，求的最小值；
（3）點是上的兩點，且，求證：為定值；反之，當為此定值時，是否成立？請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

設:的準線與軸交于點,焦點為;橢圓以為焦點,離心率.設是的一個交點.

(1)當時,求橢圓的方程.
(2)在(1)的條件下,直線過的右焦點,與交于兩點,且等于的周長,求的方程.
(3)求所有正實數,使得的邊長是連續(xù)正整數.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1的離心率為，左焦點為F(－1，0)，
(1)設A，B分別為橢圓的左、右頂點，過點F且斜率為k的直線L與橢圓C交于M，N兩點，若，求直線L的方程；
(2)橢圓C上是否存在三點P，E，G，使得S△OPE＝S△OPG＝S△OEG＝？

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，且過點（）．
（1）求橢圓E的方程；
（2）設直線l:y=kx+t與圓（1＜R＜2）相切于點A，且l與橢圓E只有一個公共點B.
①求證：；
②當R為何值時，取得最大值？并求出最大值．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

橢圓c：（a>b>0）的離心率為，過其右焦點F與長軸垂直的弦長為1，
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右頂點分別為A，B，點P是直線x=1上的動點，直線PA與橢圓的另一個交點為M，直線PB與橢圓的另一個交點為N，求證：直線MN經過一定點.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為,點為拋物線上的一點，其縱坐標為，.
（1）求拋物線的方程；
（2）設為拋物線上不同于的兩點，且，過兩點分別作拋物線的切線，記兩切線的交點為，求的最小值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

的內切圓與三邊的切點分別為,已知，內切圓圓心,設點A的軌跡為R.

（1）求R的方程；
（2）過點C的動直線m交曲線R于不同的兩點M,N，問在x軸上是否存在一定點Q（Q不與C重合），使恒成立，若求出Q點的坐標，若不存在，說明理由.

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