【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，證明：，；

（2）若函數(shù)在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

【答案】(1)證明見解析；(2)

【解析】

（1）將帶入解析式,求得導(dǎo)函數(shù),并判斷當(dāng)時(shí)函數(shù)的單調(diào)性,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得函數(shù)在時(shí)的最小值,即可證明.

（2）先求得導(dǎo)函數(shù),討論在的不同取值范圍內(nèi)函數(shù)的單調(diào)情況,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)情況判斷其極值的個(gè)數(shù),即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）證明:當(dāng)時(shí),,則,

當(dāng)時(shí),,則,又因?yàn)?/span>,

所以當(dāng)時(shí),,僅時(shí),,

所以在上是單調(diào)遞減,所以,即.

（2）,因?yàn)?/span>,所以,,

①當(dāng)時(shí),恒成立,所以在上單調(diào)遞增,沒有極值點(diǎn).

②當(dāng)時(shí),在區(qū)間上單調(diào)遞增,

因?yàn)?/span>,.

當(dāng)時(shí),時(shí),

所以在上單調(diào)遞減,沒有極值點(diǎn).

當(dāng)時(shí),,所以存在,使

當(dāng)時(shí),,時(shí),

所以在處取得極小值,為極小值點(diǎn).

綜上可知,若函數(shù)在上存在極值點(diǎn),則實(shí)數(shù).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)函數(shù).

（Ⅰ）求證：當(dāng)時(shí)，；

（Ⅱ）存在，使得成立，求a的取值范圍；

（Ⅲ）若對恒成立，求b的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】經(jīng)過多年的運(yùn)作，“雙十一”搶購活動(dòng)已經(jīng)演變成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷盛宴．為迎接2018年“雙十一”網(wǎng)購狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)膹V告費(fèi)，對網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷．經(jīng)調(diào)查測算，該促銷產(chǎn)品在“雙十一”的銷售量p萬件與促銷費(fèi)用x萬元滿足（其中，a為正常數(shù)）．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本萬元（不含促銷費(fèi)用），每一件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為元，假定廠家的生產(chǎn)能力完全能滿足市場的銷售需求．

（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費(fèi)用x萬元的函數(shù)；

（2）促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí)，廠家的利潤最大？并求出最大利潤的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】汽車智能輔助駕駛已得到廣泛應(yīng)用，其自動(dòng)剎車的工作原理是用雷達(dá)測出車輛與前方障礙物之間的距離（并結(jié)合車速轉(zhuǎn)化為所需時(shí)間），當(dāng)此距離等于報(bào)警距離時(shí)就開始報(bào)警提醒，等于危險(xiǎn)距離時(shí)就自動(dòng)剎車，某種算法（如下圖所示）將報(bào)警時(shí)間劃分為4段，分別為準(zhǔn)備時(shí)間、人的反應(yīng)時(shí)間、系統(tǒng)反應(yīng)時(shí)間、制動(dòng)時(shí)間，相應(yīng)的距離分別為、、、，當(dāng)車速為（米/秒），且時(shí)，通過大數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)分析得到下表（其中系數(shù)隨地面濕滑成都等路面情況而變化，）.

階段

0、準(zhǔn)備

1、人的反應(yīng)

2、系統(tǒng)反應(yīng)

3、制動(dòng)

時(shí)間

秒

秒

距離

米

米

（1）請寫出報(bào)警距離（米）與車速（米/秒）之間的函數(shù)關(guān)系式，并求時(shí)，若汽車達(dá)到報(bào)警距離時(shí)人和系統(tǒng)均不采取任何制動(dòng)措施，仍以此速度行駛，則汽車撞上固定障礙物的最短時(shí)間（精確到0.1秒）；

（2）若要求汽車不論在何種路面情況下行駛，報(bào)警距離均小于80米，則汽車的行駛速度應(yīng)限制在多少米/秒以下？合多少千米/小時(shí)？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于任意，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”.

（1）已知數(shù)列：1，，是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）是否存在首項(xiàng)為-1的無窮等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和滿足：，若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請說明理由；

（3）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列（至少有4項(xiàng)）為“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，是否存在，使為“K數(shù)列”？若存在，請求出，若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》(1261年）一書中，用如圖所示的三角形，解釋二項(xiàng)和的乘方規(guī)律.在歐洲直到1623年以后，法國數(shù)學(xué)家布萊士帕斯卡的著作（1655年)介紹了這個(gè)三角形，近年來，國外也逐漸承認(rèn)這項(xiàng)成果屬于中國，所以有些書上稱這是“中國三角形”，如圖.17世紀(jì)德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨發(fā)現(xiàn)了“萊布尼茨三角形”，如圖.在楊輝三角中，相鄰兩行滿足關(guān)系式：，其 中是行數(shù)，.請類比上式，在萊布尼茨三角形中相鄰兩行滿足的關(guān)系式是__________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）若，對任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長度得到的圖象，若的對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，則關(guān)于函數(shù)有下述四個(gè)結(jié)論：

①的最小正周期為 ②若的最大值為2，則

③在有兩個(gè)零點(diǎn) ④在區(qū)間上單調(diào)

其中所有正確結(jié)論的標(biāo)號是（ ）

A.①③④B.①②④C.②④D.①③

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知向量，設(shè)，向量．

（1）若，求向量與的夾角；

（2）若 對任意實(shí)數(shù)都成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

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