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已知動點到定點和的距離之和為.
（Ⅰ）求動點軌跡的方程；
（Ⅱ）設，過點作直線，交橢圓異于的兩點，直線的斜率分別為，證明：為定值.

（Ⅰ）；（Ⅱ）證明過程詳見解析.

解析試題分析：本題考查橢圓的基本量間的關系及韋達定理的應用.第一問是考查橢圓的基本量間的關系，比較簡單；第二問是直線與橢圓相交于兩點，先設出兩點坐標，本題的突破口是在消參后的方程中找出兩根之和、兩根之積，整理斜率的表達式，但是在本問中需考慮直線的斜率是否存在，此題中蘊含了分類討論的思想的應用.
試題解析：（Ⅰ）由橢圓定義，可知點的軌跡是以為焦點，以為長軸長的橢圓．
由，得．故曲線的方程為．        5分
（Ⅱ）當直線的斜率存在時，設其方程為，
由，得．     7分
設，，，．
從而．                                                                                 11分
當直線的斜率不存在時，得，
得．
綜上，恒有．                                              12分
考點：1.三角形面積公式；2.余弦定理；3.韋達定理；4.橢圓的定義.

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相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓的離心率為，直線與以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓的方程；
（2）如圖，、、是橢圓的頂點，是橢圓上除頂點外的任意點，直線交軸于點，直線交于點，設的斜率為，的斜率為，求證：為定值.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓：的左焦點為，右焦點為．

（Ⅰ）設直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段的垂直平分線交于點M，求點M的軌跡的方程；
（Ⅱ）設為坐標原點，取曲線上不同于的點，以為直徑作圓與相交另外一點，求該圓的面積最小時點的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓（）右頂點與右焦點的距離為，短軸長為.
（I）求橢圓的方程；  
（II）過左焦點的直線與橢圓分別交于、兩點，若三角形的面積為，求直線的方程．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知拋物線的焦點為，過任作直線(與軸不平行)交拋物線分別于兩點，點關于軸對稱點為，

（1）求證：直線與軸交點必為定點；
（2）過分別作拋物線的切線，兩條切線交于，求的最小值，并求當取最小值時直線的方程.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓經過點離心率，直線的方程為.

(Ⅰ)求橢圓的方程；
(Ⅱ)是經過右焦點的任一弦(不經過點)，設直線與直線相交于點，記的斜率分別為問:是否存在常數，使得若存在求的值；若不存在，說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的焦距為4，且與橢圓x2＋＝1有相同的離心率，斜率為k的直線l經過點M(0,1)，與橢圓C交于不同的兩點A、B.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

如圖，已知橢圓的上、下頂點分別為，點在橢圓上，且異于點，直線與直線分別交于點，

（Ⅰ）設直線的斜率分別為，求證：為定值；
（Ⅱ）求線段的長的最小值；
（Ⅲ）當點運動時，以為直徑的圓是否經過某定點？請證明你的結論．

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科目：高中數學 來源： 題型：解答題

四邊形ABCD的四個頂點都在拋物線上，A，C關于軸對稱，BD平行于拋物線在點C處的切線。
（Ⅰ）證明：AC平分；
（Ⅱ）若點A坐標為，四邊形ABCD的面積為4，求直線BD的方程。

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