【題目】已知橢圓C1 (a>b>0)的離心率為 ,P(﹣2,1)是C1上一點(diǎn).
(1)求橢圓C1的方程;
(2)設(shè)A,B,Q是P分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),平行于AB的直線l交C1于異于P、Q的兩點(diǎn)C,D,點(diǎn)C關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為E.證明:直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形.

【答案】
(1)解:由題意可得e= = ,且a2﹣b2=c2,

將P(﹣2,1)代入橢圓方程可得 =1,

解得a=2 ,b= ,c=

即有橢圓方程為


(2)解:證明:A,B,Q是P(﹣2,1)分別關(guān)于兩坐標(biāo)軸及坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),

可設(shè)A(﹣2,﹣1),B(2,1),Q(2,﹣1),

直線l的斜率為k= ,設(shè)直線l的方程為y= x+t,

代入橢圓x2+4y2=8,可得x2+2tx+2t2﹣4=0,

設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),E(﹣x1,﹣y1),

即有△=4t2﹣4(2t2﹣4)>0,解得﹣2<t<2,

x1+x2=﹣2t,x1x2=2t2﹣4,

設(shè)直線PD,PE的斜率為k1,k2,

則k1+k2= + =

要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形,

只需證k1+k2=0,即(2﹣x1)(y2﹣1)﹣(2+x2)(y1+1)=0,

由y1= x1+t,y2= x2+t,

可得(2﹣x1)(y2﹣1)﹣(2+x2)(y1+1)=2(y2﹣y1)﹣(x1y2+x2y1)+x1﹣x2﹣4

=x2﹣x1﹣(x1x2+tx1+tx2)+x1﹣x2﹣4=﹣x1x2﹣t(x1+x2)﹣4

=﹣(2t2﹣4)+2t2﹣4=0,

則直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形


【解析】(1)運(yùn)用橢圓的離心率公式和P滿足橢圓方程,解得a,b,進(jìn)而得到橢圓方程;(2)設(shè)A(﹣2,﹣1),B(2,1),Q(2,﹣1),設(shè)直線l的方程為y= x+t,代入橢圓方程,設(shè)C(x1 , y1),D(x2 , y2),E(﹣x1 , ﹣y1),運(yùn)用韋達(dá)定理,設(shè)直線PD,PE的斜率為k1 , k2 , 要證直線PD、PE與y軸圍成的三角形是等腰三角形,只需證k1+k2=0,化簡(jiǎn)整理,代入韋達(dá)定理,即可得證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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