【題目】四棱錐中，平面，四邊形是矩形，且，，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，是線段的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角為，

①求線段的長(zhǎng)；

②求二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①2②

【解析】

（1）以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸 ，建立空間直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積證出，，再利用線面垂直的判定定理即可證出.

（2）①求出平面的一個(gè)法向量，利用，即可求線段的長(zhǎng)；②求出平面的一個(gè)法向量，再根據(jù)為平面的一個(gè)法向量，利用空間向量的數(shù)量積即可求解.

（1）依題意，以點(diǎn)為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸 ，

建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），

可得，，，，

，，.

，，，

，，.

即，，，.

所以平面.

（2）①設(shè)為平面的法向量，

則，即，

不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量，

于是有，.

所以，得或（舍）.

，，線段的長(zhǎng)為；.

②設(shè)為平面的法向量，，

則即，

不妨令，可得為平面的一個(gè)法向量，.

又為平面的一個(gè)法向量，.

所以.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】對(duì)于，若數(shù)列滿足，則稱這個(gè)數(shù)列為“K數(shù)列”．

（Ⅰ）已知數(shù)列：1，m+1，m2是“K數(shù)列”，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）是否存在首項(xiàng)為-1的等差數(shù)列為“K數(shù)列”，且其前n項(xiàng)和滿足

？若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（Ⅲ）已知各項(xiàng)均為正整數(shù)的等比數(shù)列是“K數(shù)列”，數(shù)列不是“K數(shù)列”，若，試判斷數(shù)列是否為“K數(shù)列”，并說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）若在處取得極值，直線與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，求的取值范圍.若的極大值為1，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】“三分損益法”是古代中國(guó)發(fā)明制定音律時(shí)所用的方法，其基本原理是：以一根確定長(zhǎng)度的琴弦為基準(zhǔn)，取此琴?gòu)?qiáng)長(zhǎng)度的得到第二根琴弦，第二根琴弦長(zhǎng)度的為第三根琴弦，第三根琴弦長(zhǎng)度的為第四根琴弦．第四根琴弦長(zhǎng)度的為第五根琴弦．琴弦越短，發(fā)出的聲音音調(diào)越高，這五根琴弦發(fā)出的聲音按音調(diào)由低到高分別稱為“官、商、角（jué）、微（zhǐ）、羽”，則“角＂和“徵”對(duì)應(yīng)的琴弦長(zhǎng)度之比為（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】小明在某物流派送公司找到了一份派送員的工作，該公司給出了兩種日薪薪酬方案．甲方案：底薪100元，每派送一單獎(jiǎng)勵(lì)1元；乙方案：底薪140元，每日前54單沒(méi)有獎(jiǎng)勵(lì)，超過(guò)54單的部分每單獎(jiǎng)勵(lì)20元.

(1)請(qǐng)分別求出甲、乙兩種薪酬方案中日薪y（單位：元）與送貨單數(shù)n的函數(shù)關(guān)系式；

(2)根據(jù)該公司所有派送員100天的派送記錄，發(fā)現(xiàn)派送員的日平均派送單數(shù)滿足以下條件：在這100天中的派送量指標(biāo)滿足如圖所示的直方圖，其中當(dāng)某天的派送量指標(biāo)在時(shí)，日平均派送量為單．若將頻率視為概率，回答下列問(wèn)題：

①估計(jì)這100天中的派送量指標(biāo)的平均數(shù)(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表) ；

②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，設(shè)每名派送員的日薪為（單位：元），試分別求出甲、乙兩種方案的日薪的分布列及數(shù)學(xué)期望. 請(qǐng)利用數(shù)學(xué)期望幫助小明分析他選擇哪種薪酬方案比較合適？并說(shuō)明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在正方體中，異面直線和分別在上底面和下底面上運(yùn)動(dòng)，且，現(xiàn)有以下結(jié)論：

①當(dāng)與所成角為60°時(shí)，與所成角為60°；

②當(dāng)與所成角為60°時(shí)，與側(cè)面所成角為30°；

③與所成角的最小值為45°

④與所成角的最大值為90°

其中正確的是（ ）

A.①③B.②④C.①③④D.②③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】從秦朝統(tǒng)一全國(guó)幣制到清朝末年，圓形方孔銅錢（簡(jiǎn)稱“孔方兄”）是我國(guó)使用時(shí)間長(zhǎng)達(dá)兩千多年的貨幣．如圖1，這是一枚清朝同治年間的銅錢，其邊框是由大小不等的兩同心圓圍成的，內(nèi)嵌正方形孔的中心與同心圓圓心重合，正方形外部，圓框內(nèi)部刻有四個(gè)字“同治重寶”．某模具廠計(jì)劃仿制這樣的銅錢作為紀(jì)念品，其小圓內(nèi)部圖紙?jiān)O(shè)計(jì)如圖2所示，小圓直徑1厘米，內(nèi)嵌一個(gè)大正方形孔，四周是四個(gè)全等的小正方形（邊長(zhǎng)比孔的邊長(zhǎng)�。總�(gè)正方形有兩個(gè)頂點(diǎn)在圓周上，另兩個(gè)頂點(diǎn)在孔邊上，四個(gè)小正方形內(nèi)用于刻銅錢上的字．設(shè)，五個(gè)正方形的面積和為S．

（1）求面積S關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求定義域；

（2）求面積S的最小值及此時(shí)的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的短軸長(zhǎng)為，離心率為。

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

（2）設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，左，右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)，，為橢圓上位于軸上方的兩點(diǎn)，且，記直線，的斜率分別為，，若，求直線的方程.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】某省高考改革方案指出：該省高考考生總成績(jī)將由語(yǔ)文數(shù)學(xué)英語(yǔ)3門統(tǒng)一高考成績(jī)和學(xué)生從思想政治、歷史、地理、物理、化學(xué)、生物6門等級(jí)性考試科目中自主選擇3個(gè)，按獲得該次考試有效成績(jī)的考生(缺考考生或未得分的考生除外)總?cè)藬?shù)的相應(yīng)比例的基礎(chǔ)上劃分等級(jí)，位次由高到低分為A、B、C、D、E五等21級(jí)，該省的某市為了解本市萬(wàn)名學(xué)生的某次選考化學(xué)成績(jī)水平，統(tǒng)計(jì)在全市范圍內(nèi)選考化學(xué)的原始成績(jī)，發(fā)現(xiàn)其成績(jī)服從正態(tài)分布 ，現(xiàn)從某校隨機(jī)抽取了名學(xué)生，將所得成績(jī)整理后，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖.

（1）估算該校名學(xué)生成績(jī)的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；

（2）現(xiàn)從該校名考生成績(jī)?cè)?/span>的學(xué)生中隨機(jī)抽取兩人，該兩人成績(jī)排名（從高到低）在全市前名的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，.

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