【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中， ： （為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)， 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知曲線.

（1）求的普通方程及的直角坐標(biāo)方程，并說(shuō)明它們分別表示什么曲線；

（2）若分別為， 上的動(dòng)點(diǎn)，且的最小值為2，求的值.

【答案】(1) 見(jiàn)解析；(2) 或.

【解析】試題分析：（1）代入法消去參數(shù)可得： ，利用點(diǎn)斜式即可得出表示一條直線，利用可得： ，配方即可得出表示的曲線是圓；（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式可得圓心到直線的距離，利用即可得出.

試題解析：(1)由可得其普通方程為，它表示過(guò)定點(diǎn)，斜率為的直線．

由可得其直角坐標(biāo)方程為，整理得，它表示圓心為，半徑為1的圓．

(2)因?yàn)閳A心到直線的距離，故的最小值為，故，得，解得或.

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【題目】已知橢圓方程是 =1，F(xiàn)1 ， F2是它的左、右焦點(diǎn)，A，B為它的左、右頂點(diǎn)，l是橢圓的右準(zhǔn)線，P是橢圓上一點(diǎn)，PA、PB分別交準(zhǔn)線l于M，N兩點(diǎn)．
（1）若P（0， ），求 的值；
（2）若P（x0 ， y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，求 的值；
（3）能否將問(wèn)題推廣到一般情況，即給定橢圓方程是 =1（a＞b＞0），P（x0 ， y0）是橢圓上任意一點(diǎn)，問(wèn) 是否為定值？證明你的結(jié)論．

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（Ⅱ）若用這所學(xué)校的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)該市的總體情況，現(xiàn)從該市報(bào)考體育專業(yè)的學(xué)生中任選3人，設(shè)ξ表示體重超過(guò)60千克的學(xué)生人數(shù)，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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【題目】已知函數(shù).

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（2）當(dāng)時(shí)， 恒成立，求的最大值；

（3）設(shè)，若在的值域?yàn)?/span>，求的取值范圍.（提示： ， ）

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【題目】已知函數(shù)
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若 ，求cos2α的值．

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【題目】一個(gè)袋中有若干個(gè)大小相同的黑球、白球和紅球．已知從袋中任意摸出1個(gè)球，得到黑球的概率是 ；從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)白球的概率是 ． （Ⅰ）若袋中共有10個(gè)球，
（i）求白球的個(gè)數(shù)；
（ii）從袋中任意摸出3個(gè)球，記得到白球的個(gè)數(shù)為ξ，求隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望Eξ．
（Ⅱ）求證：從袋中任意摸出2個(gè)球，至少得到1個(gè)黑球的概率不大于 ．并指出袋中哪種顏色的球個(gè)數(shù)最少．

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(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率；

(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？

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