Question

受金融危機的影響，三峽某旅游公司經(jīng)濟效益出現(xiàn)了一定程度的滑坡．現(xiàn)需要對某一景點進行改造升級，從而擴大內需，提高旅游增加值．經(jīng)過市場調查，旅游增加值y萬元與投入x萬元之間滿足：y=，，其中t為大于的常數(shù)．當x=10萬元時y=9.2萬元．
（1）求y=f（x）的解析式和投入x的取值范圍；
（2）求出旅游增加值y取得最大值時對應的x值．

Answer 1

解：（1）由于當x=10萬元時y=9.2萬元，因此，，解得a=．
從而f（x）=x--ln．…
∵，t為大于的常數(shù)，可得6＜x≤．
即投入x的取值范圍為（6，]．…
（2）由題意可得f′（x）=--=-，令f′（x）=0，可得 x=1，或 x=50．…
當x∈（1，50）時，f′（x）＞0，且f（x）在（1，50）上連續(xù)，因此f（x）在（1，50]上是增函數(shù)；
當x∈（50，+∞））時，f′（x）＜0，且f（x）在（50，+∞）上連續(xù)，因此f（x）在（50，+∞）上是減函數(shù)．
再由6＜x≤，
①可得當≥50時，則x=50時，函數(shù)f（x）取得極大值，即投入50萬元改造時旅游取得最大增加值．
②若＜50，則當x=時，函數(shù)f（x）取得最大值．即投入萬元改造時旅游取得最大增加值．…
分析：（1）由于當x=10萬元時，y=9.2萬元，求得a=，從而求得f（x）的解析式．根據(jù)，t為大于的常數(shù)，可得6＜x≤，即為所求投入x的取值范圍．
（2）令f′（x）=0，可得 x=1（不在x的范圍內，舍去），或 x=50．根據(jù)f′（x）的符號可得f（x）在（1，50]上是增函數(shù)，在（50，+∞）上是減函數(shù)．再由6＜x≤，①可得當≥50時，則x=50時，函數(shù)f（x）取得極大值，②若＜50，則當x=時，函數(shù)f（x）取得最大值，從而得出結論．
點評：本題主要考查函數(shù)的最值的應用，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．