Question

【題目】定義：對于一個項數(shù)為的數(shù)列，若存在且，使得數(shù)列的前k項和與剩下項的和相等（若僅為1項，則和為該項本身），我們稱該數(shù)列是“等和數(shù)列”.例如：因為，所以數(shù)列3，2，1是“等和數(shù)列”.請解答以下問題：

（1）數(shù)列1，2，p，4是“等和數(shù)列”，求實數(shù)p的值；

（2）項數(shù)為的等差數(shù)列的前n項和為，，求證：是“等和數(shù)列”.

（3）是公比為q項數(shù)為的等比數(shù)列，其中且恒成立.判斷是不是“等和數(shù)列”，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）或或 （2）證明見解析 （3）不是“等和數(shù)列”，證明見解析

【解析】

（1）對令分別計算，得到答案.
（2）由，得，若是“等和數(shù)列，存在k使得，即.分和進行討論即可.
（3）假設是“等和數(shù)列”, 則存在且，使得成立, 即,
由會得到矛盾，從而判斷處結(jié)論.

（1）若，即，則.

若，即，則.

若，即，則.

所以或或

（2）證明方法一：，所以.

假設存在k使得數(shù)列的前k項和與剩下項的和相等，即，所以.

，，

即.

當時，，對任意都有，，即，

所以此時是“等和數(shù)列”；

當時，，，此時或（舍去）.
即存在且，使得成立，所以此時是“等和數(shù)列”.

由上得：是“等和數(shù)列”

證明方法二：設公差為d，

，，

同理：，，

于是，同理，

，即，，，成等差數(shù)列，

所以，因為，
所以，即存在，使得，所以是“等和數(shù)列”

（3）不是“等和數(shù)列”

證明方法一：設為的前n項和

反證法：假設結(jié)論不成立，即是“等和數(shù)列”，

則存在且，使得成立，即，

于是成立，即

時，，，即，所以，
所以，與產(chǎn)生矛盾.所以假設不成立，即不是“等和數(shù)列”.

證明方法二：反證法：假設結(jié)論不成立，即是“等和數(shù)列”，

則存在且，使得成立，即.

于是成立，即得到，
這里，得產(chǎn)生矛盾.所以假設不成立，即不是“等和數(shù)列”.

證明方法三：先證該數(shù)列滿足：設為前n項和，則對任意都有成立.

證明：，

因為，所以，，，

所以，所以恒成立.

由此得：對任意且，，即，

所以不存在且，使得成立，

即不是“等和數(shù)列”.