Question

（2013•韶關(guān)二模）如圖1，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AD=CD=

1

2

AB=2，點E為AC中點，將△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到幾何體D-ABC，如圖2所示．
（1）求證：DA⊥BC；
（2）在CD上找一點F，使AD∥平面EFB；
（3）求點A到平面BCD的距離．

Answer 1

分析：（1）圖1中，取AB得中點M，連接CM，則四邊形ADCM為正方形，MB=2．可得CM⊥AB，CM=2，利用勾股定理得CB=

CM2+MB2

=2

2

．從而AC²+BC²=AB²，可得AC⊥BC．已知平面ADC⊥平面ABC，利用面面垂直的性質(zhì)定理可得BC⊥平面ADC，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）取CD的中點F，連接EF，BF．利用三角形的中位線定理和線面平行的判定定理即可證明；
（3）利用（1）及已知可得AD⊥平面BCD．因此AD就是所求．

解答：解：（1）在圖1中，取AB得中點M，連接CM，則四邊形ADCM為正方形，MB=2．
∴CM⊥AB，CM=2，∴CB=

CM2+MB2

=2

2

．
又AC=

AD2+DC2

=2

2

．
∴AC=BC=2

2

，
從而AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ADC⊥平面ABC，面ADC∩面ABC=AC，BC?面ABC．
∴BC⊥平面ADC又AD?面ADC．
∴BC⊥DA．
（2）取CD的中點F，連接EF，BF．
在△ACD中，∵E，F(xiàn)分別為AC，DC的中點，
∴EF為△ACD的中位線，
∴AD∥EFEF⊆平面EFBAD?平面EFB，
∴AD∥平面EFB．
（3）由（1）可得：BC⊥AD，又AD⊥DC，DC∩BC=C，
∴AD⊥平面BCD．
∴AD就是點A到平面BCD的距離，即為AD=2．

點評：本題綜合考查了線面、面面垂直的判定與性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、三角形的中位線定理、勾股定理、正方形的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強(qiáng)的推理能力和空間想象能力．