Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，為的中點(diǎn)，．

（1）求的長(zhǎng)；

（2）求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連接交于點(diǎn)，等腰三角形中利用“三線合一”證出，因此分別以、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．結(jié)合題意算出、、、

各點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)，根據(jù)為邊的中點(diǎn)且，算出，從而得到，可得的長(zhǎng)；（2）由（1）的計(jì)算，得，，．利用垂直向量數(shù)量積為零的方法建立方程組，解出和分別為平面、平面的法向量，利用空間向量的夾角公式算出、夾角的余弦，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可算出二面角的正弦值．

試題解析：（1）如圖，連接交于點(diǎn)，

∵，平分角，∴，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，而，可得，

又∵，

∴可得，，，，

由于⊥底面，可設(shè)，

∵為邊的中點(diǎn)，∴，由此可得，

∵，且，

∴，解得（舍負(fù)），

因此，，可得的長(zhǎng)為．

（2）由（1）知，，，

設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，

∵，且，∴，取，得，

同理，由且，解出．

∴向量，的夾角余弦值為，

因此，二面角的正弦值等于．