【題目】在三棱拄中,側(cè)面,已知,,.
(Ⅰ)求證:平面;
(Ⅱ)試在棱(不包含端點)上確定一點的位置,使得;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,求和平面所成角正弦值的大小.
【答案】(Ⅰ)詳見解析;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ)
【解析】
試題(Ⅰ)欲證線面垂直,先考察線線垂直,易證,可試證,由題目給條件易想到利用勾股定理逆定理;(Ⅱ)要想在棱找到點,使得,易知,那么這時就需要使,這時就轉(zhuǎn)化為一個平面幾何問題:以矩形的邊為直徑作圓,與的公共點即為所求,易知只有一點即的中點 ,將以上分析寫成綜合法即可,找到這一點后,也可用別的方法證明,如勾股定理逆定理;(Ⅲ)求直線與平面所成的角,根據(jù)其定義,應(yīng)作出這條直線在平面中的射影,再求這條直線與其射影的夾角(三角函數(shù)值),本題可考慮點在平面的射影,易知平面與側(cè)面垂直,所以點在平面的射影必在兩平面的交線上,過做的垂線交于,則為所求的直線與平面的夾角.
試題解析:(Ⅰ)因為,,,所以,
,所以
因為側(cè)面,平面,所以,又,
所以,平面 4分
(Ⅱ)取的中點,連接 ,,,等邊中,
同理,, ,所以,可得,所以
因為側(cè)面,平面,所以,且,
所以平面,所以; 8分
(Ⅲ)側(cè)面,平面,得平面平面,
過做的垂線交于,平面
連接,則為所求,
因為 ,,所以 ,為的中點 得為的中點,
, 由(2)知 ,所以 13分
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某次數(shù)學(xué)測驗共有12道選擇題,每道題共有四個選項,且其中只有一個選項是正確的,評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定:每選對1道題得5分,不選或選錯得0分. 在這次數(shù)學(xué)測驗中,考生甲每道選擇題都按照規(guī)則作答,并能確定其中有9道題能選對;其余3道題無法確定正確選項,在這3道題中,恰有2道能排除兩個錯誤選項,另1題只能排除一個錯誤選項. 若考生甲做這3道題時,每道題都從不能排除的選項中隨機挑選一個選項作答,且各題作答互不影響.在本次測驗中,考生甲選擇題所得的分?jǐn)?shù)記為
(1)求的概率;
(2)求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)()
(1)若,用“五點法”在給定的坐標(biāo)系中,畫出函數(shù)在[0,π]上的圖象.
(2)若偶函數(shù),求
(3)在(2)的前提下,將函數(shù)的圖象向右平移個單位后,再將得到的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?/span>4倍,縱坐標(biāo)不變,得到函數(shù)的圖象,求在的單調(diào)遞減區(qū)間.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2019年12月16日,公安部聯(lián)合阿里巴巴推出的“錢盾反詐機器人”正式上線,當(dāng)普通民眾接到電信網(wǎng)絡(luò)詐騙電話,公安部錢盾反詐預(yù)警系統(tǒng)預(yù)警到這一信息后,錢盾反詐機器人即自動撥打潛在受害人的電話予以提醒,來電信息顯示為“公安反詐專號”.某法制自媒體通過自媒體調(diào)查民眾對這一信息的了解程度,從5000多參與調(diào)查者中隨機抽取200個樣本進(jìn)行統(tǒng)計,得到如下數(shù)據(jù):男性不了解這一信息的有50人,了解這一信息的有80人,女性了解這一信息的有40人.
(1)完成下列列聯(lián)表,問:能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下,認(rèn)為200個參與調(diào)查者是否了解這一信息與性別有關(guān)?
了解 | 不了解 | 合計 | |
男性 | |||
女性 | |||
合計 |
(2)該自媒體對200個樣本中了解這一信息的調(diào)查者按照性別分組,用分層抽樣的方法抽取6人,再從這6人中隨機抽取3人給予一等獎,另外3人給予二等獎,求一等獎與二等獎獲得者都有女性的概率.
附:
P(K2≥k) | 0.01 | 0.005 | 0.001 |
k | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】越野汽車輪胎的質(zhì)量是根據(jù)其正常使用的時間來衡量,使用時間越長,表明質(zhì)量越好,且使用時間大于或等于6千小時的為優(yōu)質(zhì)品.現(xiàn)用,兩種不同型號的汽車輪胎做試驗,各隨機抽取部分產(chǎn)品作為樣本,得到試驗結(jié)果的頻率分布直方圖如圖所示,以上述試驗結(jié)果中各組的頻率作為相應(yīng)的概率.
(1)現(xiàn)從大量的,兩種型號的輪胎中各隨機抽取2件產(chǎn)品,求其中至少有3件是優(yōu)質(zhì)品的概率;
(2)通過多年統(tǒng)計發(fā)現(xiàn),型輪胎每件產(chǎn)品的利潤(單位:元)與其使用時間(單位:千小時)的關(guān)系如下表:
使用時間(單位:千小時) | |||
每件產(chǎn)品的利潤(單位:元) | 200 | 400 |
若從大量的型輪胎中隨機抽取兩件,其利潤之和記為(單位:元),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù),其中,.
(1)若為定值,求的最大值;
(2)求證:對任意,有 ;
(3)若,,求證:對任意,直線與曲線有唯一公共點.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】以下說法中,正確的是_____.(填上所有正確說法的序號):
①已知角終邊上一點,則;
②函數(shù)的最小正周期是;
③把函數(shù)的圖象向右平移個單位長度可以得到的圖象;
④數(shù)的圖象關(guān)于對稱;
⑤函數(shù)在上有零點,則實數(shù)的取值范圖是.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點為,直線.
(1)若拋物線和直線沒有公共點,求的取值范圍;
(2)若,且拋物線和直線只有一個公共點時,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù) 是的一個極值點.
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若當(dāng)時,恒成立,求的取值范圍.
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