Question

【題目】已知橢圓的長軸長是焦距的2倍，且過點(diǎn)．

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)為橢圓C上的動點(diǎn)，F為橢圓C的右焦點(diǎn)，A、B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)滿足．

①證明：為定值；

②設(shè)Q是直線上的動點(diǎn)，直線AQ、BQ分別另交橢圓C于M、N兩點(diǎn)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）（2）①見解析②3

【解析】

（1）由題意可得又過一點(diǎn)，及，，之間的關(guān)系求出，，進(jìn)而求出橢圓的方程；

（2）①由（1）可得右焦點(diǎn)，，的坐標(biāo)，求出向量的模，及向量的模可證得為定值；

②由題意方程可得為右準(zhǔn)線，設(shè)的坐標(biāo)，求出直線，的直線與橢圓聯(lián)立求出，的橫坐標(biāo)，再由橢圓的性質(zhì)到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率可得用，的橫坐標(biāo)表示，由均值不等式可得其最小值.

解：（1）由題意可得，，，

解得：，，

所以橢圓的方程為：；

（2）由（1）可得，，，

①因?yàn)?/span>為橢圓C上的動點(diǎn)，

點(diǎn)滿足，所以；

所以

，

所以：，

所以可證為定值2．

②由題意設(shè)，所以，

所以直線的方程為：，

聯(lián)立直線與橢圓的方程：

整理可得：，

所以，所以，

同理，所以直線的方程：，

整理可得：，

所以，所以，

因?yàn)?/span>為右準(zhǔn)線，

所以由到焦點(diǎn)的距離與到準(zhǔn)線的距離的比為離心率，

可得：

，

當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．

所以的最小值為3．