Question

函數(shù)f( x )=2x-

a

x

的定義域為（0，1]（a為實數(shù)）．
（1）當a=-1時，求函數(shù)y=f（x）的值域；
（2）若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）討論函數(shù)y=f（x）在x∈（0，1]上的值域．

Answer 1

分析：（1）將a的值代入函數(shù)解析式，利用導數(shù)當分析函數(shù)的單調(diào)性，可求出函數(shù)的值域．
（2）求出導函數(shù)，令導函數(shù)大于等于0在定義域上恒成立，分離出a，構(gòu)造函數(shù)，通過求函數(shù)的最小值，求出a的范圍．
（3）通過對a的討論，判斷出函數(shù)在（0，1）上的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值，進而可得函數(shù)的值域．

解答：解：（1）當a=-1時，f(x)=2x+

1

x

令f′(x)=2-

1

x2

=0，則x=

2

2

∵x∈（0，

2

2

]時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（

2

2

，1]時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增；
∴當x=

2

2

時，f（x）取最小值2

2

，無最大值
∴函數(shù)y=f（x）的值域為（2

2

，+∞）
（2）∵f′(x)=2+

a

x2

若函數(shù)y=f（x）在定義域上是減函數(shù)，
則f′（x）＜0即a＜-2x²在定義域上恒成立
而-2x²∈（-2，0）
∴a≤-2
（3）當a≥0時，函數(shù)y=f（x）在（0.1]上單調(diào)增，無最小值，
當x=1時取得最大值2-a；
函數(shù)的值域是[2-a，+∞）
當-2＜a＜0時，函數(shù)y=f（x）在（ 0，

-2a

2

]上單調(diào)減，在[

-2a

2

，1]上單調(diào)增，無最大值，
當x=

-2a

2

時取得最小值2

-2a

∴當-2＜a＜0時值域是[2

-2a

，+∞）

點評：求函數(shù)的單調(diào)性常借助導數(shù)，當導函數(shù)大于0對應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；當導函數(shù)小于0對應(yīng)的區(qū)間是函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間．求含參數(shù)的函數(shù)的性質(zhì)問題時，一般要對參數(shù)討論．