Question

如圖，在三棱柱△ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

（Ⅰ）求證：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）試在棱CC₁（不包含端點C，C₁上確定一點E的位置，使得EA⊥EB₁（要求說明理由）．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若AB=

2

，求二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)本題條件可得BC₁⊥AB，再解三角形的有關(guān)知識可得C₁B⊥BC，進而根據(jù)線面垂直的判定定理可得答案．
（II）根據(jù)題意設出點的坐標，再求出兩條直線所在的向量，然后利用向量的數(shù)量積等于0可得答案．
（III）分別求出兩個平面的法向量，再利用向量的有關(guān)運算求出兩個向量的夾角，進而轉(zhuǎn)化為二面角的平面角．

解答：解：（Ⅰ）證明：因為AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，所以AB⊥BC₁，
在△BCC₁中有BC=1，BB₁=2，∠BCC₁=

π

3

所以由余弦定理可得：BC₁=

1+4-2×2×cos π 3

=

3

．
故有 BC²+C₁B²=C₁C²，
所以C₁B⊥BC．
又因為BC∩AB=B，且AB，BC?平面ABC，
所以C₁B⊥平面ABC．
（II）以BA為z軸，BC為x軸，BC′為y軸，建立空間直角坐標系，所以B（0，0，0），C（1，0，0），C′(0，

3

，0)，B′(-1，

3

，0)
設E（x，y，0），A（0，0，m），所以

CC′

=(-1，

3

，0)，

CE

=(x-1，y，0)，
設

CE

=λ

CC′

則E(1-λ，

3

λ，0)（0＜λ＜1）
故

AE

=(1-λ，

3

λ，-m)，

B′E

=(2-λ，

3

(1-λ)，0)
故

AE

•

B′E

=4λ2-6λ+2=0?λ=1（舍）或λ=

1

2

故E為CC′中點．
（III）由題設得，A(0，0，

2

)，A′(-1，

3

，

2

)，E(

1

2

，

3

2

，0)，
所以

AE

=(

1

2

，

3

2

，-

2

)，

B′E

=(

3

2

，-

3

2

，0)
設平面AEB′的一個法向量為

n1

=(x，y，z)，平面A′B′E的一個法向量為

n2

，
所以

AE • n1 = 1 2 x+ 3 2 y- 2 z=0 B′E • n1 = 3 2 x- 3 2 y=0

令x=1，故

n1

=(1，

3

，

2

)，同理

n2

=(1，

3

，0)
所以cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

1+3

6 ×2

=

6

3

故cosθ=

6

3

，sinθ=

3

3

故tanθ=

2

2

，即二面角A-EB₁-A₁的平面角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查線面垂直、線線垂直、二面角的求法，是立體幾何�？嫉膯栴}，解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握幾何體的結(jié)構(gòu)特征進而建立空間直角坐標系，利用空間向量的有關(guān)運算解決空間角、空間距離、線面的位置關(guān)系等問題．