Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，已知BB₁=2，AB=

2

，BC=1，∠BCC1=

π

3

（1）求證：C₁B⊥平面ABC；
（2）試在棱CC₁（不包含端點(diǎn)C，C₁）上確定一點(diǎn)E的位置，使得EA⊥EB₁．

Answer 1

分析：（Ⅰ）要證明C₁B⊥平面ABC，根據(jù)線面垂直的判定定理可知：需要證明C₁B垂直于平面ABC內(nèi)的兩條相交直線即可．由已知AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，即可得到AB⊥BC₁；在△CC₁B中，先使用余弦定理求出BC₁的長(zhǎng)，進(jìn)而再使用勾股定理得逆定理即可證得BC₁⊥BC．
（Ⅱ）由于AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，要在線段CC₁上找一點(diǎn)E，滿足B₁E⊥AE，根據(jù)三垂線定理，只要E點(diǎn)滿足B₁E⊥BE即可．若以線段BB₁為直徑畫圓與線段CC₁的交點(diǎn)（去掉點(diǎn)C、C₁）即可滿足要求．

解答：解：（I）證明：∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，∴AB⊥BC₁．
在△BC₁C中，BC=1，CC₁=BB₁=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理得BC12=BC2+CC12-2BC•CC1COS

π

3

=12+22-2×1×2×

1

2

=3，∴BC1=

3

．
故有BC²+BC²₁=CC²₁，∴C₁B⊥BC，
 而BC∩AB=B且AB，BC?平面ABC，
∴C₁B⊥平面ABC．
（II）如圖所示：以線段BB₁為直徑畫圓O，分別交線段CC₁于點(diǎn)E、C₁．
下面說(shuō)明點(diǎn)E、C₁是上述所畫的圓與線段CC₁的交點(diǎn)．
①∵B₁C₁=OB₁=1，∠OB1C1=

π

3

，∴△OB₁C₁是正三角形，∴OC₁=1，即點(diǎn)C₁在所畫的圓上．
②作OK⊥CC₁，垂足為K，取EK=KC₁，則點(diǎn)E也在所畫的圓上．
∵OE=OC₁=1，∴點(diǎn)E也在所畫的圓上．
∵CC₁∥BB₁，∴∠OBE=∠OB1C1=

π

3

，∴△OBE是正三角形，∴EB=1，
∴EB=BC=1，又∠BCE=

π

3

，∴△BCE為正三角形，∴CE=1，即E點(diǎn)是線段CC₁的中點(diǎn)．
下面證明點(diǎn)E滿足條件．
∵AB⊥側(cè)面BB₁C₁C，B₁E⊥BE，據(jù)三垂線定理可得B₁E⊥AE．
故線段CC₁的中點(diǎn)E即是要求的點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理及三垂線定理，深刻理解以上定理是解決問題的關(guān)鍵．