Question

【題目】已知拋物線C：y2=2px（p＞0），過其焦點F的直線l交拋物線C于點A、B，|AF|=3|BF|，則|AB|=（ ）
A.p
B.
C.2p
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：設拋物線y2=2px（p＞0）的準線為l′：x=﹣ ． 如圖所示，
①當直線AB的傾斜角為銳角時，
分別過點A，B作AM⊥l′，BN⊥l′，垂足為M，N．
過點B作BC⊥AM交于點C．
則|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵|AF|=3|BF|= |AB|，
∴|AM|﹣|BN|=|AC|=|AF|﹣|BF|= |AB|，
在Rt△ABC中，由|AC|= |AB|，可得∠BAC=60°．
∵AM∥x軸，∴∠BAC=∠AFx=60°．
∴kAB=tan60°= ，
直線方程為y= （x﹣ ），代入拋物線方程，可得3x2﹣5px+ p2=0，
∴|AB|= = p，
②當直線AB的傾斜角為鈍角時，可得kAB=﹣ ．|AB|= p
綜上可知：|AB|= p，
故選：D．