Question

（1）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，又知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（4，2），求拋物線的方程；
（2）已知拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離為

17

4

，求p與m的值．

Answer 1

分析：（1）對(duì)稱軸分為是x軸和y軸兩種情況，分別設(shè)出標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=2px和x²=-2py，然后將P點(diǎn)坐標(biāo)代入即可求出拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，
（2）根據(jù)拋物線的定義利用點(diǎn)A（m，4）到其焦點(diǎn)的距離求得p，拋物線方程可得，進(jìn)而把點(diǎn)P代入求得m．

解答：解：（1）∵拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，
∴拋物線的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程．
又∵點(diǎn)P（4，2）在第一象限，
∴拋物線的方程設(shè)為y²=2px，x²=2py（p＞0）．
當(dāng)拋物線為y²=2px時(shí)，則有2²=2p×4，故2p=1，y²=x；
當(dāng)拋物線為x²=2py時(shí)，則有4²=2p×2，故2p=8，x²=8y．
綜上，所求的拋物線的方程為y²=x或x²=8y．
（2）由拋物線方程得其準(zhǔn)線方程y=-

p

2

，根據(jù)拋物線定義，點(diǎn)A（m，4）到焦點(diǎn)的距離等于它到準(zhǔn)線的距離，即4+

p

2

=

17

4

，解得p=

1

2

；∴拋物線方程為：x²=y，將A（m，4）代入拋物線方程，解得m=±2．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題過(guò)程中要注意對(duì)稱軸是x軸和y軸兩種情況作答，屬于基礎(chǔ)題．