Question

已知：函數(shù)f（x）=2cos²x+asinxcosx，f=0．
（Ι）求實數(shù)a；
（ΙΙ）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（III）若函數(shù)f（x）的圖象按向量m=平移后，得到一個函數(shù)g（x）的圖象，求g（x）的解析式．

Answer 1

解：（Ι）由題意，f=2×+a××=0，∴a=-2．
（ΙΙ）函數(shù)f（x）=2cos²x+asinxcosx=（cos2x+1）-sin2x=2cos（2x+）+1，
故最小正周期T=．
令 2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈z，解得 kπ-≤x≤kπ-，k∈z．
故函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-，kπ-]，k∈z．
（ΙII）在函數(shù)g（x）的圖象上任取一點P（x，y），設(shè)該點是由函數(shù)f（x）圖象上的點
P′（x′，y′）按向量 =（，-1）平移后所得，則 ，∴．
代入 y′=2cos（2x′+）+1中可得：y=2cos2x，
∴g（x）=2cos2x．
分析：（Ι）直接利用條件 f=2×+a××=0，解方程求出a的值．
（ΙΙ）根據(jù)三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f（x）的解析式為2cos（2x+）+1，令 2kπ-π≤2x+≤2kπ，k∈z，求出x的范圍，即可得到函數(shù)的增區(qū)間．
（ΙII）在函數(shù)g（x）的圖象上任取一點P（x，y），設(shè)該點是由函數(shù)f（x）圖象上的點P′（x′，y′）按向量 =（，-1）平移后所得，得到這兩個點的坐標間的關(guān)系，代入y′=2cos（2x′+）+1中可得 g（x） 解析式．
點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，以及函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．