Question

已知橢圓的焦距與短軸長相等，點(diǎn)A，B，C都在橢圓C上，且AB、AC分別過兩個(gè)焦點(diǎn)F₁、F₂．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過，求橢圓方程．

Answer 1

【答案】分析：（I）根據(jù)橢圓的焦距與短軸長相等，可得b=c，從而可求橢圓C的離心率；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），利用直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過，求出弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求橢圓方程．
解答：解：（I）∵橢圓的焦距與短軸長相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴=
∴；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），則，
∴，
又，∴c=1，b=1，a²=2
∴橢圓方程為．
點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．