已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，點(diǎn)A，B，C都在橢圓C上，且AB、AC分別過兩個(gè)焦點(diǎn)F1、F2．
（I）求橢圓C的離心率；
（II）若直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(-
4
9
，0)，求橢圓方程．
分析：（I）根據(jù)橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，可得b=c，從而可求橢圓C的離心率；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），利用直線AB的斜率為2，且線段AB的垂直平分線經(jīng)過(-
4
9
，0)，求出弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)，從而可求橢圓方程．
解答：解：（I）∵橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距與短軸長相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴a=
b2+c2
=
2
c
∴e=
c
a
=
2
2
；
（II）設(shè)弦AB中點(diǎn)坐標(biāo)（m，n），則
-
1
2
m
n
=2
-
1
2
=
0-n
-
4
9
-m
，
∴m=-
8
9
，n=
2
9
，
又2=
2
9
-
8
9
+c
，∴c=1，b=1，a2=2
∴橢圓方程為
x2
2
+y2=1．
點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，且經(jīng)過點(diǎn)P(1，
3
2
)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)F是橢圓C的左焦，判斷以PF為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的短軸長為2
3
，右焦點(diǎn)F與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A、B是橢圓C上的不同兩點(diǎn)，點(diǎn)D（-4，0），且滿足
DA
=λ
DB
，若λ∈[
3
8
，
1
2
]，求直線AB的斜率的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，
3
2
），且離心率e=
3
2
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)B（-1，0）能否作出直線l，使l與橢圓C交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)O．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•房山區(qū)二模）已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的長軸長是4，離心率為
1
2
．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)過點(diǎn)P（0，-2）的直線l交橢圓于M，N兩點(diǎn)，且M，N不與橢圓的頂點(diǎn)重合，若以MN為直徑的圓過橢圓C的右頂點(diǎn)A，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的短軸長為2，離心率為
2
2
，設(shè)過右焦點(diǎn)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A，B，過A，B作直線x=2的垂線AP，BQ，垂足分別為P，Q．記λ=
AP+BQ
PQ
，若直線l的斜率k≥
3
，則λ的取值范圍為
 
．

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