Question

如圖所示，已知A，B，C是橢圓上的三點，其中點A的坐標為過橢圓的中心O，且AC⊥BC，|BC|=2|AC|．
（Ⅰ）求點C的坐標及橢圓E的方程；
（Ⅱ）若橢圓E上存在兩點P，Q，使得∠PCQ的平分線總是垂直于x軸，試判斷向量與是否共線，并給出證明．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O（0，0），
∴|OC|=|AC|．又，
∴，
∵，將及C點坐標代入橢圓方程得，
∴橢圓E的方程為：．

（Ⅱ）對于橢圓上兩點P，Q，
∵∠PCQ的平分線總垂直于x軸，
∴PC與CQ所在直線關于直線對稱，設直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，
∴直線PC的方程為，
即．①
直線CQ的方程為．②
將①代入，
得，③
∵在橢圓上，
∴是方程③的一個根．
∴，
∴，
同理可得，，
∴．
∵，
∴，
又，
∴，
∴k_AB=k_PQ，∴向量與向量共線．
分析：（Ⅰ）根據(jù)|BC|=2|AC|，且BC經(jīng)過O可推斷出|OC|=|AC|，進而根據(jù)求得C點的坐標，將a及C點坐標代入橢圓方程求得b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）根據(jù)∠PCQ的平分線總垂直于x軸，可知PC與CQ所在直線關于直線對稱，設直線PC的斜率為k，則直線CQ的斜率為-k，進而可表示出直線PC的方程和直線CQ的方程分別于橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)C點坐標且在橢圓上，可利用韋達定理求得x_Q和x_p的表達式，進而求得B的坐標，則直線AB的斜率可求得，進而可知k_AB=k_PQ，推斷出向量與向量共線．
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．