Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知橢圓的左頂點為，右焦點為，過原點的直線（與坐標軸不重合）與橢圓交于點、，直線、分別與軸交于點、.

（1）若，求點的橫坐標；

（2）設直線、的斜率分別為、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由題意可得出、的值，進一步求出的值，可求出橢圓的方程，由可得出，由點、的橫坐標結合向量坐標運算可求得點的橫坐標；

（2）設點，可得點，求出直線、的方程，可求得點、的坐標，利用斜率公式可求得的值.

（1）設橢圓的焦距為，

由題意得，，因為，，所以，

所以橢圓的標準方程為.

因為，所以，所以.

又因為，，所以，即點的橫坐標為；

（2）因為直線過原點，由對稱性可設、，

所以直線，令，得，所以；

直線，令，得，所以.

所以，，所以.

又因為，所以.