(2012•西城區(qū)二模)如圖,直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直.AB∥CD,AB⊥BC,AB=2CD=2BC,EA⊥EB.
(Ⅰ)求證:AB⊥DE;
(Ⅱ)求直線EC與平面ABE所成角的正弦值;
(Ⅲ)線段EA上是否存在點(diǎn)F,使EC∥平面FBD?若存在,求出
EFEA
;若不存在,說明理由.
分析:(Ⅰ)取AB中點(diǎn)O,連接EO,DO.利用等腰三角形的性質(zhì),可得EO⊥AB,證明邊形OBCD為正方形,可得AB⊥OD,利用線面垂直的判定可得AB⊥平面EOD,從而可得AB⊥ED;
(Ⅱ)由平面ABE⊥平面ABCD,且EO⊥AB,可得EO⊥平面ABCD,從而可得EO⊥OD.建立空間直角坐標(biāo)系,確定平面ABE的一個(gè)法向量為
OD
=(0,1,0)
,
EC
=(1,1,-1)
,利用向量的夾角公式,可求直線EC與平面ABE所成的角;
(Ⅲ)存在點(diǎn)F,且
EF
EA
=
1
3
時(shí),有EC∥平面FBD.確定平面FBD的法向量,證明
EC
v
=0即可.
解答:(Ⅰ)證明:取AB中點(diǎn)O,連接EO,DO.
因?yàn)镋B=EA,所以EO⊥AB.                            …(1分)
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,
所以四邊形OBCD為正方形,所以AB⊥OD.   …(2分)
因?yàn)镋O∩OD=O
所以AB⊥平面EOD.      …(3分)
因?yàn)镋D?平面EOD
所以AB⊥ED.        …(4分)
(Ⅱ)解:因?yàn)槠矫鍭BE⊥平面ABCD,且 EO⊥AB,平面ABE∩平面ABCD=AB
所以EO⊥平面ABCD,
因?yàn)镺D?平面ABCD,所以EO⊥OD.
由OB,OD,OE兩兩垂直,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O-xyz. …(5分)
因?yàn)椤鱁AB為等腰直角三角形,所以O(shè)A=OB=OD=OE,設(shè)OB=1,所以O(shè)(0,0,0),A(-1,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),E(0,0,1).
所以
EC
=(1,1,-1)
,平面ABE的一個(gè)法向量為
OD
=(0,1,0)
. …(7分)
設(shè)直線EC與平面ABE所成的角為θ,
所以 sinθ= |cos?
EC
,
OD
>| =
|
EC
OD
|
|
EC
||
OD
|
=
3
3
,
即直線EC與平面ABE所成角的正弦值為
3
3
.               …(9分)
(Ⅲ)解:存在點(diǎn)F,且
EF
EA
=
1
3
時(shí),有EC∥平面FBD.             …(10分)
證明如下:由 
EF
=
1
3
EA
=(-
1
3
,0,-
1
3
)
,F(-
1
3
,0,
2
3
)
,所以
FB
=(
4
3
,0,-
2
3
)

設(shè)平面FBD的法向量為
v
=(a,b,c),則有
v
BD
=0
v
FB
=0

所以
-a+b=0
4
3
a-
2
3
z=0.
取a=1,得
v
=(1,1,2).              …(12分)
因?yàn)?span id="3vlbrp7" class="MathJye">
EC
v
=(1,1,-1)•(1,1,2)=0,且EC?平面FBD,所以EC∥平面FBD.
即點(diǎn)F滿足
EF
EA
=
1
3
時(shí),有EC∥平面FBD.               …(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線面垂直,考查線面平行,考查線面角,考查利用向量解決線面角問題,確定平面的法向量是關(guān)鍵.
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π
6
)-sin2x

(Ⅰ)求f(
π
12
)
的值;
(Ⅱ)若對(duì)于任意的x∈[0,
π
2
]
,都有f(x)≤c,求實(shí)數(shù)c的取值范圍.

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②若{an}是等差數(shù)列,則{an}為2階遞歸數(shù)列;
③若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=n2,則{an}為3階遞歸數(shù)列.
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35
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①y=2x;
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