(2011•孝感模擬)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1且bn=1-2an,bn+1=
bn
1-4 
a
2
n

(I)證明:數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列,并求數(shù)列{an}的通項公式;
(Ⅱ)求使不等式(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥k
1
b2b3bnbn+1 
對任意正整數(shù)n都成立的最大實數(shù)k.
分析:(I)由題設知(1+2an)(1-2an+1)=1,故an-an+1=2an•an+1,
1
an+1
-
1
an
=2
,由此能夠證明數(shù)列{
1
an
}
是以
1
a1
=1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,并能求出數(shù)列{an}的通項公式.
(Ⅱ)由bn=
2n-3
2n-1
,知b2b3bnbn+1=
1
2n+1
,故1+an=1+
1
2n-1
=
2n
2n-1
,則k
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
 
2n+1
,由此能求出滿足條件的最大實數(shù)k的值.
解答:(I)證明:∵數(shù)列{an}和{bn}滿足a1=1,
bn=1-2an,bn+1=
bn
1-4 
a
2
n

∴(1+2an)(1-2an+1)=1,
∴an-an+1=2an•an+1,
1
an+1
-
1
an
=2
,
∴數(shù)列{
1
an
}
是以
1
a1
=1為首項,以2為公差的等差數(shù)列,
1
an
=1+2(n-1)=2n-1,
an=
1
2n-1

(Ⅱ)解:由(I)得bn=
2n-3
2n-1

b2b3bnbn+1=
1
2n+1
,
1+an=1+
1
2n-1
=
2n
2n-1

則k
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
 
2n+1
,
記f(n)=
4
3
×
6
5
×…×
2n
2n-1
2n+1

f(n+1)
f(n)
=
2n+2
(2n+1)(2n+2)
>1
,
∴數(shù)列{f(n)}是遞增數(shù)列,
要使原不等式對任意正整數(shù)n都成立,只要k≤f(1),
k≤
2
3
3
,
∴滿足條件的最大實數(shù)k為
2
3
3
點評:本題考查數(shù)列與不等式的綜合,考查運算求解能力,推理論證能力;考查化歸與轉(zhuǎn)化思想.對數(shù)學思維的要求比較高,有一定的探索性.綜合性強,難度大,是高考的重點.解題時要認真審題,仔細解答.
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(
1
2
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=( 。

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2
2
2
2

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1
4
x+
3
4x
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a
=(
3
2
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b
=(sinθ,
1
3
),其
a
b
,則銳角θ為(  )

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