(2011•孝感模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx-
1
4
x+
3
4x
-1,g(x)=x2-2mx+4

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對任意x1∈(0,2),總存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2),求實數(shù)m的取值范圍.
分析:(Ⅰ)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的步驟是①求導(dǎo)函數(shù)f′(x);②解f′(x)>0(或<0);③得到函數(shù)的增區(qū)間(或減區(qū)間),對于本題的在求單調(diào)區(qū)間時要注意函數(shù)的定義域;
(Ⅱ) 由題意可知f(x)的最小值不小于g(x)的最小值,根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得到g(x)的最小值,再根據(jù)(Ⅰ)求出的f(x)的單調(diào)區(qū)間,根據(jù)f(x)的增減性即可求出f(x)的最小值,進而列出關(guān)于m的不等式,求出不等式的解集即可得到m的范圍.
解答:解:(Ⅰ)函數(shù)的定義域為(0,+∞),
f′(x)=
1
x
-
1
4
-
3
4x2
=
-x2+4x-3
4x2
=
-(x-1)(x-3)
4x2
,
由f′(x)>0得,1<x<3,
由f′(x)<0得,0<x<1或x>3,
∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,3);單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1),(3,+∞);
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)上遞減,在區(qū)間(1,2)上遞增,
∴函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2)上的最小值為f(1)=-
1
2
,
由于“對任意x1∈(0,2),總存在x2∈[1,2]使f(x1)≥g(x2)”等價于“g(x)在區(qū)間[1,2]上的最小值不大于f(x)在區(qū)間(0,2)上的最小值-
1
2

即g(x)min-
1
2
,(*)
又g(x)=x2-2mx+4,x∈[1,2],
∴①當m<1時,g(x)min=g(1)=5-2m>0與(*)式矛盾,
②當m∈[1,2]時,g(x)min=4-m2≥0,與(*)式矛盾,
③當m>2時,g(x)min=g(2)=8-4m≤-
1
2
,
解得m
17
8
,
綜上知,實數(shù)m的取值范圍是[
17
8
,+∞
).
點評:本題是中檔題.考查函數(shù)的值域,難點是題意的理解與轉(zhuǎn)化,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想.同時也考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力,
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1
2
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2
2
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a
=(
3
2
,cosθ),向量
b
=(sinθ,
1
3
),其
a
b
,則銳角θ為(  )

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