精英家教網(wǎng)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，AB=AC=2A1A=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)；
（I）求異面直線A1B，AC1所成角的余弦值；
（II）求直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值．
分析：（I）以
AB
，
AC
，
AA1
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，可得
A1B
和
AC1
的坐標(biāo)，可得cos＜
A1B
，
AC1
＞，可得答案；
（II）由（I）知，
A1B
=（2，0，-4），
AD
=（1，1，0），設(shè)平面C1AD的法向量為
n
=（x，y，z），由
n
•
AC1
=0
n
•
AD
=0
可得
n
=（1，-1，
1
2
），設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜
AB1
，
n
＞|=
4
5
15
，進(jìn)而可得答案．
解答：解：（I）以
AB
，
AC
，
AA1
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz，
則可得B（2，0，0），A1（0，0，4），C1（0，2，4），D（1，1，0），
∴
A1B
=（2，0，-4），
AC1
=（0，2，4），
∴cos＜
A1B
，
AC1
＞=
-16
20
×
20
=-
4
5

∴異面直線A1B，AC1所成角的余弦值為：
4
5
；
（II）由（I）知，
A1B
=（2，0，-4），
AD
=（1，1，0），
設(shè)平面C1AD的法向量為
n
=（x，y，z），
則可得
n
•
AC1
=0
n
•
AD
=0
，即
2y+4z=0
x+z=0
，取x=1可得
n
=（1，-1，
1
2
），
設(shè)直線AB1與平面C1AD所成的角為θ，則sinθ=|cos＜
AB1
，
n
＞|=
4
5
15

∴直線AB1與平面C1AD所成角的正弦值為：
4
5
15
點(diǎn)評：本題考查異面直線所成的角，以及直線與平面所成的角，建立空間直角坐標(biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，已知AA′=4，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是AB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CD⊥AB′；
（Ⅱ）求二面角A′-AB′-C的大��；
（Ⅲ）求直線B′D與平面AB′C所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•瀘州一模）如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AB=BC=CA=a，AA′=
2
a，則AB′與側(cè)面AC′所成角的大小為
30°
30°
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，AA′=AB=BC=1，∠ABC=90°．棱A′C′上有兩個(gè)動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF=a （a為常數(shù)）．
（Ⅰ）在平面ABC內(nèi)確定一條直線，使該直線與直線CE垂直；
（Ⅱ）判斷三棱錐B-CEF的體積是否為定值．若是定值，求出這個(gè)三棱錐的體積；若不是定值，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，∠BAC=90°，AB=BB′=1，直線B′C與平面ABC成30°角．
（1）求證：A′B⊥面AB′C；
（2）求二面角B-B′C-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直三棱柱ABC-A′B′C′中，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∠ACB=90°，AC=BC=1，AA′=2，
（1）欲過點(diǎn)A′作一截面與平面AC'D平行，問應(yīng)當(dāng)怎樣畫線，寫出作法，并說明理由；
（2）求異面直線BA′與 C′D所成角的余弦值．

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