Question

（本小題12分）已知函數(shù)．

(1)證明函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;

（2）若，求；

（3）在（2）的條件下，若 ，為數(shù)列的前項(xiàng)和，若對(duì)一切都成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1） 證明：見解析；（2） ；（3）   .

【解析】(1)證明f(x)關(guān)于點(diǎn) 對(duì)稱，只須證明：設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,即證：即可.

(2)利用（1）的結(jié)論，采用倒序相加的方法求和即可。

（3）當(dāng)時(shí)，，  當(dāng)時(shí)，， .可求出 

然后再本小題可轉(zhuǎn)化為對(duì)一切都成立，即恒成立，又即

恒成立,再構(gòu)造,研究其最大值即可。

（1） 證明：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012070912323557761633/SYS201207091233072807568128_DA.files/image022.png">， 設(shè)、是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn), 其中且,

則有 

因此函數(shù)圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱             ……………………………………4分

（2）由（1）知當(dāng)時(shí)，

     ①      ②

①+②得 ………………………………………………………………8分

（3）當(dāng)時(shí)，

     當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí)， …=

∴  （）

又對(duì)一切都成立，即恒成立

∴恒成立，又設(shè),所以在上遞減,所以在處取得最大值

∴，即

所以的取值范圍是                          ………………12分