Question

已知點(diǎn)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂為雙曲線的左、右焦點(diǎn)．O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且△PF₁F₂的面積為2ac（c為雙曲線半焦距）則雙曲線的離心率為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，可得||=||，得△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形．由雙曲線的定義結(jié)合勾股定理，算出S_△PF1F2=c²-a²=2ac，將其轉(zhuǎn)化為關(guān)于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率．
解答：解：∵=
∴==0
可得||=||=||，所以△PF₁F₂是以P為直角頂點(diǎn)的直角三角形
∵||-||=±2a
∴（||-||）²=||²-2||•||+||²=4a²
∵||²+||²=4c²，||•||=2S_△PF1F2，
∴4c²-4S_△PF1F2=4a²，得S_△PF1F2=c²-a²
∵由題意△PF₁F₂的面積為2ac，
∴c²-a²=2ac，兩邊都除以a²，得-1=2•
整理，得e²-2e-1=0，解之得e=1（舍負(fù)）
故答案為：1+
點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的焦點(diǎn)三角是直角三角形，求該雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)、雙曲線的離心率定義及其求法等知識(shí)，屬于中檔題．