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設等比數列的首項為，公比為為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足。

（1）       求數列的通項公式；

（2）       試確定實數的值，使得數列為等差數列；

（3）       當數列為等差數列時，對每個正整數，在和之間插入個2，得到一個新數列。設是數列的前項和，試求滿足的所有正整數。

解： （1）由題意，則，解得或

因為為正整數，所以，

又，所以

（2）當時，得，

同理：時，得；時，得，

則由，得而當時，，得。

由，知此時數列為等差數列。

（3）由題意知，

則當時，，不合題意，舍去；

當時，，所以成立；

當時，若，則，不合題意，舍去；從而必是數列中的某一項，則

又，所以，

即，所以

因為為奇數，而為偶數，所以上式無解。

即當時，

綜上所述，滿足題意的正整數僅有。

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

（本小題滿分12分）已知數列，

定義其倒均數是。

   （1）求數列{}的倒均數是，求數列{}的通項公式；

   （2）設等比數列的首項為－1，公比為，其倒數均為，若存在正整數k，使得當恒成立，試找出一個這樣的k值（只需找出一個即可，不必證明）

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科目：高中數學 來源：2011屆福建省廈門外國語學校高三上學期11月月考理科數學卷 題型：解答題

（本小題滿分13分）已知數列，定義其倒均數是。
（1）求數列{}的倒均數是，求數列{}的通項公式；
（2）設等比數列的首項為－1，公比為，其倒數均為，若存在正整數k，使恒成立，試求k的最小值。

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江蘇省高三第一學期期中考試理科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（）.

（1）求數列的通項公式；

（2）試確定的值，使得數列為等差數列；

（3）當為等差數列時，對每個正整數，在與之間插入個2，得到一個新數列. 設是數列 的前項和，試求滿足的所有正整數.

 

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科目：高中數學 來源：2013-2014學年江蘇省高三第一學期期中考試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題

設等比數列的首項為，公比為（為正整數），且滿足是與的等差中項；數列滿足（）.

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）試確定的值，使得數列為等差數列；

（Ⅲ）當為等差數列時，對每個正整數，在與之間插入個2，得到一個新數列. 設是數列 的前項和，試求滿足的所有正整數.

 

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科目：高中數學 來源：2011-2012學年浙江省高三下學期第一次綜合練習文科數學 題型：解答題

(本題滿分14分)設等比數列的首項為，公比，前項和為

（Ⅰ）當時，三數成等差數列，求數列的通項公式；

（Ⅱ）對任意正整數，命題甲： 三數構成等差數列．

命題乙： 三數構成等差數列．

求證：對于同一個正整數，命題甲與命題乙不能同時為真命題．

 

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