楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家.他的數(shù)學著作頗多,他編著的數(shù)學書共5種21卷,在他的著作中收錄了不少現(xiàn)已失傳的古代數(shù)學著作中的算題和算法.他的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面.楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果,它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關,楊輝三角中蘊涵了許多優(yōu)美的規(guī)律.古今中外,許多數(shù)學家如賈憲、朱世杰、帕斯卡、華羅庚等都曾深入研究過,并將研究結(jié)果應用于其他工作.下圖是一個11階的楊輝三角:

 

試回答:(其中第(1)&(5)小題只需直接給出最后的結(jié)果,無需求解過程)

(1)記第i(i∈N*)行中從左到右的第j(j∈N*)個數(shù)為aij,則數(shù)列{aij}的通項公式為          ,

n階楊輝三角中共有           個數(shù);

(2)第k行各數(shù)的和是;

(3)n階楊輝三角的所有數(shù)的和是;

(4)將第n行的所有數(shù)按從左到右的順序合并在一起得到的多位數(shù)等于;

(5)第p(p∈N*,且p≥2)行除去兩端的數(shù)字1以外的所有數(shù)都能被p整除,則整數(shù)p一定為(   )

A.奇數(shù)                B.質(zhì)數(shù)              C.非偶數(shù)                D.合數(shù)

(6)在第3斜列中,前5個數(shù)依次為1、3、6、10、15;第4斜列中,第5個數(shù)為35.顯然,1+3+6+10+15=35.事實上,一般地有這樣的結(jié)論:

第m斜列中(從右上到左下)前k個數(shù)之和,一定等于第m+1斜列中第k個數(shù).

試用含有m、k(m、k∈N*)的數(shù)學公式表示上述結(jié)論并證明其正確性.

數(shù)學公式為                   .

證明:                        .

解：(1)aij=    (2)2k   (3)2n+1-1   (4)11n    (5)B      

(6)


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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：閱讀理解

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖是一個11階楊輝三角：
（1）求第20行中從左到右的第4個數(shù)；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為
2
3
，求n的值；
（3）求n階（包括0階）楊輝三角的所有數(shù)的和；
（4）在第3斜列中，前5個數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實上，一般地有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個數(shù)．試用含有m、k（m，k∈N×）的數(shù)學公式表示上述結(jié)論，并給予證明．
第0行 1 … … … … … … … … … … … … 第1斜列
第1行 1 1 … … … … … … … … … … … 第2斜列
第2行 1 2 1 … … … … … … … … … … 第3斜列
第3行 1 3 3 1 … … … … … … … … … 第4斜列
第4行 1 4 6 4 1 … … … … … … … … 第5斜列
第5行 1 5 10 10 5 1 … … … … … … … 第6斜列
第6行 1 6 15 20 15 6 1 … … … … … … 第7斜列
第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 … … … … … 第8斜列
第8行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 … … … … 第9斜列
第9行 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 … … … 第10斜列
第10行 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 … … 第11斜列
第11行 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1 … 第12斜列
11階楊輝三角

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家，他的數(shù)學研究與教育工作的重點是在計算技術方面，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關．圖是一個7階的楊輝三角．
給出下列五個命題：
①記第i（i∈N*）行中從左到右的第j（j∈N*）個數(shù)為aij，則數(shù)列{aij}的通項公式為Cij；
②第k行各數(shù)的和是2k；
③n階楊輝三角中共有
(n+1)22
個數(shù)；
④n階楊輝三角的所有數(shù)的和是2n+1-1．
其中正確命題的序號為
②④
②④
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家、楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．如圖所示是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第4個數(shù)；
（2）若第n行中從左到右第14與第15個數(shù)的比為
23
，求n的值；
（3）在第3斜列中，前5個數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數(shù)為35．顯然，1+3+6+10+15=35．事實上，一般地有這樣的結(jié)論：第m斜列中（從右上到左下）前k個數(shù)之和，一定等于第m+1斜列中第k個數(shù)．試用含有m，k（m，k∈N*）的數(shù)學公式表示上述結(jié)論，并給予證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省泰州中學高二第二學期期末考試數(shù)學（理）試題 題型：解答題

（本題滿分15分）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個11階楊輝三角：

（1）求第20行中從左到右的第3個數(shù)；
（2）若第行中從左到右第13與第14個數(shù)的比為，求的值；
（3）寫出第行所有數(shù)的和，寫出階（包括階）楊輝三角中的所有數(shù)的和；
（4）在第3斜列中，前5個數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)，事實上，一般地有這樣的結(jié)論：第斜列中（從右上到左下）前個數(shù)之和，一定等于第斜列中第個數(shù)．
試用含有，的數(shù)學式子表示上述結(jié)論，并證明．

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科目：高中數(shù)學 來源：2010年江蘇省高二第二學期期末考試數(shù)學（理）試題 題型：解答題

（本題滿分15分）楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學家、數(shù)學教育家，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關，楊輝三角中蘊藏了許多優(yōu)美的規(guī)律．下圖是一個11階楊輝三角：

  

（1）求第20行中從左到右的第3個數(shù)；

（2）若第行中從左到右第13與第14個數(shù)的比為，求的值；

（3）寫出第行所有數(shù)的和，寫出階（包括階）楊輝三角中的所有數(shù)的和；

（4）在第3斜列中，前5個數(shù)依次為1，3，6，10，15；第4斜列中，第5個數(shù)為35，我們發(fā)現(xiàn)，事實上，一般地有這樣的結(jié)論：第斜列中（從右上到左下）前個數(shù)之和，一定等于第斜列中第個數(shù)．

試用含有，的數(shù)學式子表示上述結(jié)論，并證明．

 

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