Question

楊輝是中國南宋末年的一位杰出的數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家，他的數(shù)學(xué)研究與教育工作的重點是在計算技術(shù)方面，楊輝三角是楊輝的一大重要研究成果，它的許多性質(zhì)與組合數(shù)的性質(zhì)有關(guān)．圖是一個7階的楊輝三角．
給出下列五個命題：
①記第i（i∈N^*）行中從左到右的第j（j∈N^*）個數(shù)為a_ij，則數(shù)列{a_ij}的通項公式為C_i^j；
②第k行各數(shù)的和是2^k；
③n階楊輝三角中共有

(n+1)2

2

個數(shù)；
④n階楊輝三角的所有數(shù)的和是2ⁿ⁺¹-1．
其中正確命題的序號為

②④

．

Answer 1

分析：據(jù)第i行各個數(shù)是（a+b）ⁱ的展開式的二項式系數(shù)，故可求數(shù)列{a_ij}的通項公式為C_i^j-1；
據(jù)各行的所有數(shù)和是各個二項式的二項式系數(shù)和，（a+b）ⁿ的二項式系數(shù)和為2ⁿ得解．第k行各數(shù)的和是2^k；第k行共有k+1個數(shù)，可求n階楊輝三角中數(shù)的個數(shù)；

解答：解：據(jù)第i行各個數(shù)是（a+b）ⁱ的展開式的二項式系數(shù)，故有數(shù)列{a_ij}的通項公式為C_j-1ⁱ，故①錯；各行的所有數(shù)和是各個二項式的二項式系數(shù)和，第k行各數(shù)的和是2^k．，故②正確；第k行共有k+1個數(shù)，從而n階楊輝三角中共有1+2++(n+1)=

(n+1)(n+2)

2

個數(shù)，故③錯；n階楊輝三角的所有數(shù)的和是1+2+2²+2ⁿ=2ⁿ⁺¹-1，故④正確
故答案為：②④

點評：本題考查二項式系數(shù)、二項式系數(shù)和公式、二項式系數(shù)性質(zhì)等．屬于基礎(chǔ)題