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【題目】已知橢圓的焦距為2,離心率.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)過點作圓的切線,切點分別為,直線軸交于點,過點作直線交橢圓兩點,點關于軸的對稱點為,求面積的最大值.

【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

【解析】試題分析:(Ⅰ)由橢圓的焦點為,離心率,求出,由此能求出橢圓的標準方程;(Ⅱ)由題意,得 、、 四點共圓,該圓的方程為,得的方程為,直線的方程為,設,則,從而最大, 就最大,可設直線的方程為,由,得,由此利用根的判別式、韋達定理、弦長公式,能求出的面積的最大值.

試題解析(Ⅰ)由題意, ,解得,由,解得;

所以橢圓的標準方程為.

(Ⅱ)由題意,得四點共圓,該圓的方程為,

又圓的方程為,故直線的方程為,

,得,即點的坐標為,則點關于軸的對稱點為.

,則,因此最大, 就最大,

由題意直線的斜率不為零,可設直線的方程為,

,

所以,

又直線與橢圓交于不同的兩點,則,即,

,

,則,

,則函數上單調遞增,

即當時, 上單調遞增,因此有;

所以,當時取等號.

面積的最大值為3.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓的方程、韋達定理和三角形面積公式及單調性求最值,屬于難題. 解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法:一是幾何意義,特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決,非常巧妙;二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題,然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、以及均值不等式法,本題(2)就是用的這種思路,利用函數單調法面積的最大值的.

練習冊系列答案
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性別

是否需要志愿者

需要

40

30

不需要

160

270

(Ⅰ)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人比例;

(Ⅱ)能否有的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者提供幫助與性別有關?

(Ⅲ)根據(Ⅱ)中的結論,能否提供更好的調查方法來估計該地區(qū)老年人中需要志愿幫助?

附:

0.050

0.010

0.001

3.841

6.635

10.828

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【題目】為調查某地區(qū)老人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調查了500位老年人,結果如下:

性別
是否需要志愿者



需要

40

30

不需要

160

270

1)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的老年人的比例;

2)請根據上面的數據分析該地區(qū)的老年人需要志愿者提供幫助與性別有關嗎

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