Question

已知m，n為正整數．
（Ⅰ）用數學歸納法證明：當x＞-1時，（1+x）^m≥1+mx；
（Ⅱ）對于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，求證(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）求出滿足等式3ⁿ+4ⁿ+5ⁿ+…+（n+2）ⁿ=（n+3）ⁿ的所有正整數n．

Answer 1

分析：解法一：（Ⅰ）直接利用用數學歸納法證明的證明方法證明即可；
（Ⅱ）對于n≥6，已知(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，利用指數函數的性質以及放縮法證(1-

m

n+3

)n＜(

1

2

)m，m=1，2…，n；
（Ⅲ）利用（Ⅱ）的結論，以及驗證n=1，2，3，4，5時等式是否成立，即可求出滿足等式3ⁿ+4^m+…+（n+2）^m=（n+3）ⁿ的所有正整數n．
解法二：：（Ⅰ）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明．
（Ⅱ）同解法一；
（Ⅲ）利用反證法證明當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．驗證同解法一．

解答：解法1：（Ⅰ）證：用數學歸納法證明：
當x=0時，（1+x）^m≥1+mx；即1≥1成立，
x≠0時，證：用數學歸納法證明：
（�。┊攎=1時，原不等式成立；
當m=2時，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，
因為x²≥0，所以左邊≥右邊，原不等式成立；
（ⅱ）假設當m=k時，不等式成立，即（1+x）^k≥1+kx，
則當m=k+1時，∵x＞-1，
∴1+x＞0，于是在不等式（1+x）^k≥1+kx兩邊同乘以1+x得
（1+x）^k•（1+x）≥（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²≥1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1≥1+（k+1）x．即當m=k+1時，不等式也成立．
綜合（�。�（ⅱ）知，對一切正整數m，不等式都成立．
（Ⅱ）證：當n≥6，m≤n時，由（Ⅰ）得(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
于是(1-

m

n+3

)n≤(1-

1

n+3

)nm=[(1-

1

n+3

)n]m＜(

1

2

)m，m=1，2，n．
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當n≥6時，(1-

1

n+3

)n+(1-

2

n+3

)n+…+(1-

n

n+3

)n＜

1

2

+(

1

2

)2+…+(

1

2

)n=1-

1

2n

＜1，
∴(

n+2

n+3

)n+(

n+1

n+3

)n+…+(

3

n+3

)n＜1．
即3ⁿ+4ⁿ+…+（n+2）ⁿ＜（n+3）ⁿ．即當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．
故只需要討論n=1，2，3，4，5的情形：
當n=1時，3≠4，等式不成立；
當n=2時，3²+4²=5²，等式成立；
當n=3時，3³+4³+5³=6³，等式成立；
當n=4時，3⁴+4⁴+5⁴+6⁴為偶數，而7⁴為奇數，故3⁴+4⁴+5⁴+6⁴≠7⁴，等式不成立；
當n=5時，同n=4的情形可分析出，等式不成立．
綜上，所求的n只有n=2，3．
解法2：（Ⅰ）證：當x=0或m=1時，原不等式中等號顯然成立，下用數學歸納法證明：
當x＞-1，且x≠0時，m≥2，（1+x）^m＞1+mx． ①
（ⅰ）當m=2時，左邊=1+2x+x²，右邊=1+2x，因為x≠0，所以x²＞0，即左邊＞右邊，不等式①成立；
（ⅱ）假設當m=k（k≥2）時，不等式①成立，即（1+x）^k＞1+kx，則當m=k+1時，
因為x＞-1，所以1+x＞0．又因為x≠0，k≥2，所以kx²＞0．
于是在不等式（1+x）^k＞1+kx兩邊同乘以1+x得（1+x）^k•（1+x）＞（1+kx）（1+x）=1+（k+1）x+kx²＞1+（k+1）x，
所以（1+x）^k+1＞1+（k+1）x．即當m=k+1時，不等式①也成立．
綜上所述，所證不等式成立．
（Ⅱ）證：當n≥6，m≤n時，∵(1-

1

n+3

)n＜

1

2

，
∴[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m，
而由（Ⅰ），(1-

1

n+3

)m≥1-

m

n+3

＞0，
∴(1-

m

n+3

)n≤[(1-

1

n+3

)m]n＜(

1

2

)m．
（Ⅲ）解：假設存在正整數n₀≥6使等式3n0+4n0+…+(n0+2)n0=(n0+3)n0成立，
即有(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0+…+(

n0+2

n0+3

)n0=1． ②
又由（Ⅱ）可得(

3

n0+3

)n0+(

4

n0+3

)n0+…+(

n0+2

n0+3

)n0
=(1-

n0

n0+3

)n0+(1-

n0-1

n0+3

)n0+…+(1-

1

n0+3

)n0＜(

1

2

)n0+(

1

2

)n0-1+…+

1

2

=1-

1

2n0

＜1，與②式矛盾．
故當n≥6時，不存在滿足該等式的正整數n．
下同解法1．

點評：本小題主要考查數學歸納法、數列求和、不等式等基礎知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．注意放縮法的應用．