已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其中每一項及公差d均不為零，設aix2+2ai+1x+ai+2=0（i=1，2，3，…）是關于x的一組方程：
（1）求所有這些方程的公共根；
（2）設這些方程的另一個根為mi，求證
1
m1+1
，
1
m2+1
，
1
m3+1
，…，
1
mn+1
，…也成等差數(shù)列．
分析：（1）設出公共根，代入方程，再寫一個方程，兩個方程相減，即可求得結論；
（2）設另一個根，利用韋達定理，根據(jù)等差數(shù)列的定義，可得結論．
解答：（1）解：公共根為p，則aip2+2ai+1p+ai+2=0①
ai+1p2+2ai+2p+ai+3=0②
②-①，得dp2+2dp+d=0，d≠0為公差，∴（p+1）2=0．
∴p=-1是公共根；
（2）證明：設另一個根為mi，則mi+（-1）=
-2ai+1
ai
=-2-
2d
ai
．
∴mi+1=-
2d
ai
，即
1
mi+1
=-
ai
2d
，
∴
1
mi+1+1
-
1
mi+1
=-
ai+1-ai
2d
=-
1
2

∴{
1
mi+1
}是以-
1
2
為公差的等差數(shù)列．
點評：本題考查等差數(shù)列的判定，考查學生的計算能力，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義一個“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一項與它后一項的積都是同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫“等積數(shù)列”，這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，則這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為：
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在一個數(shù)列中，如果?n∈N*，都有an•an+1•an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=3，公積為27，則a1+a2+a3+…+a18=
78
78
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義“等積數(shù)列”：在一個數(shù)列中，如果每一個項與它的后一項的積都為同一個常數(shù)，那末這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=2，公積為5，Tn為數(shù)列{an}前n項的積，則T2011=
51006
2
51006
2
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

我們對數(shù)列作如下定義，如果?n∈N*，都有anan+1an+2=k（k為常數(shù)），那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列，k叫做這個數(shù)列的公積．已知數(shù)列{an}是等積數(shù)列，且a1=1，a2=2，公積為6，則a1+a2+a3+…+a9=
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知等差數(shù)列的定義為：在一個數(shù)列中，從第二項起，如果每一項與它的前一項的差都為同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公差．
（1）類比等差數(shù)列的定義給出“等和數(shù)列”的定義；
（2）已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列，且a1=2，公和為5，求 a18的值，并猜出這個數(shù)列的通項公式（不要求證明）．

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