【題目】設橢圓C:的左、右焦點分別為、,上頂點為A,在x軸負半軸上有一點B,滿足為線段的中點,且AB⊥。
(I)求橢圓C的離心率;
(II)若過A、B、三點的圓與直線:相切,求橢圓C的方程;
(III)在(I)的條件下,過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M,N兩點,在x軸上是否存在點P(m,0)使得以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形?如果存在,求出m的取值范圍;如果不存在,說明理由。
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ);(Ⅲ)。
【解析】分析:(Ⅰ)由題意可得在在直角三角形中有,即,整理可得.(Ⅱ)由題意可得過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c,0),半徑r=
=2c,根據直線與圓相切可得,解得c=1,從而,,可得橢圓的方程.(Ⅲ)由條件可設直線MN的方程為,與橢圓方程聯立消元后得到一元二次方程,結合根據系數的關系可得MN的中點Q的坐標為,若以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,則,由此得到,整理得,最后可求得.
詳解:(I)∵AB⊥AF2,為的中點,
∴
∵,
∴,
∴,
即橢圓C的離心率為.
(II)過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c,0),半徑r==2c.
∵直線:相切,
∴,
解得c=1.
又,
∴,
∴.
∴橢圓C的方程為.
(III)由(I)知,F2(1,0),直線MN的方程為,
由 消去y整理得
∵直線與橢圓C交于M,N兩點,
∴.
設M(,),N(,),
則
∴,
∴MN的中點Q的坐標為,
若以PM,PN為鄰邊的平行四邊形是菱形,
則,
∴
整理得,
∵,
∴,
∴.
∴.
故存在滿足題意的點P,且m的取值范圍是(.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的離心率為,橢圓短軸的一個端點與兩個焦點構成的三角形的面積為.
(1)求橢圓的方程式;
(2)已知動直線與橢圓相交于兩點.
①若線段中點的橫坐標為,求斜率的值;
②已知點,求證: 為定值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標系與參數方程
以平面直角坐標系的原點為極點,軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,且兩種坐標系中采取相同的單位長度.曲線的極坐標方程是,直線的參數方程是(為參數).
(1)求曲線的直角坐標方程與直線的普通方程;
(2)設點,若直線與曲線交于兩點,求的值.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】大型綜藝節(jié)目,《最強大腦》中,有一個游戲叫做盲擰魔方,就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶,記住后蒙住眼睛快速還原魔方,盲擰在外人看來很神奇,其實原理是十分簡單的,要學會盲擰也是很容易的根據調查顯示,是否喜歡盲擰魔方與性別有關為了驗證這個結論,某興趣小組隨機抽取了50名魔方愛好者進行調查,得到的情況如表所示,并邀請其中20名男生參加盲擰三階魔方比賽,其完成情況如表所示.
(Ⅰ)將表補充完整,并判斷能否在犯錯誤的概率不超過的前提下認為是否喜歡盲擰與性別有關?
(Ⅱ)現從表中成功完成時間在和這兩組內的6名男生中任意抽取2人對他們的盲擰情況進行視頻記錄,求2人成功完成時間恰好在同一組內的概率.
附參考公式及數據:,其中.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩位學生參加數學競賽培訓,現分別從他們在培訓期間參加的若干次預賽成績中隨機抽取8次,記錄如下:
甲:82,81,79,78,95,88,93,84
乙:92,95,80,75,83,80,90,85
(1)用莖葉圖表示這兩組數據;
(2)現要從中選派一人參加數學競賽,從統(tǒng)計學的角度(在平均數、方差或標準差中選兩個)考慮,你認為選派哪位學生參加合適?請說明理由.
查看答案和解析>>
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數.
(1)用分段函數的形式表示函數f(x);
(2)在平面直角坐標系中畫出函數f(x)的圖象;
(3)在同一平面直角坐標系中,再畫出函數g(x)= (x>0)的圖象(不用列表),觀察圖象直接寫出當x>0時,不等式f(x)> 的解集.
查看答案和解析>>
湖北省互聯網違法和不良信息舉報平臺 | 網上有害信息舉報專區(qū) | 電信詐騙舉報專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報專區(qū) | 涉企侵權舉報專區(qū)
違法和不良信息舉報電話:027-86699610 舉報郵箱:58377363@163.com