Question

已知α，β，γ∈R，則

|sinα-sinβ|

+

|sinβ-sinγ|

+

|sinγ-sinα|

的最大值為

2+

2

．

Answer 1

分析：設(shè)a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，則a，b，c∈[-1，1]，不妨設(shè) a≥b≥c，則原式=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．分析可得要使原式取得最大值，必須有a=1，c=-1，b=0，由此原式的最大值．

解答：解：由于sinα、sinβ、sinγ∈[-1，1]，設(shè)a=sinα，b=sinβ，c=sinγ，則a，b，c∈[-1，1]．
不妨設(shè) a≥b≥c，令f=

|a-b|

+

|b-c|

+

|a-c|

．
再采用固定變量法：
對(duì)于固定的b，c，f隨a的增大而增大，所以當(dāng)原式取最大值時(shí)，a一定取1，
對(duì)于固定的a，b，f隨c的減小而增大，所以當(dāng)原式取最大值時(shí)，c一定取-1．
此時(shí)，原式=

1-b

+

b+1

+

2

．
令g（b）=

1-b

+

b+1

（-1≤b≤1），∵g²（b）=2+2

1-b2

，
∴當(dāng)b=0時(shí)，g²（b）最大，故g（b）的最大值為

2

．
綜上可得，要使原式取得最大值，必須有a=1，c=-1，b=0，
故原式的最大值為 2+

2

，
故答案為 2+

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查正弦函數(shù)的值域，求函數(shù)的最大值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．