Question

【題目】已知數(shù)列 的前 項(xiàng)和為 ，并且滿足 ， .

（1）求數(shù)列 通項(xiàng)公式；

（2）設(shè) 為數(shù)列 的前 項(xiàng)和，求證： .

【答案】(1) (2)見解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到， ，兩式做差得到；（2）根據(jù)第一問得到，由錯(cuò)位相減法得到前n項(xiàng)和，進(jìn)而可證和小于1.

解析：

（1）∵

當(dāng) 時(shí)，

當(dāng)時(shí)， ，即

∴數(shù)列 時(shí)以 為首項(xiàng)， 為公差的等差數(shù)列.

∴ .

（2）∵

∴ ①

②

由① ②得

∴

點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及數(shù)列求和的常用方法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等.

【題型】解答題
【結(jié)束】
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【題目】已知 ， 分別是橢圓 ： （ ）的左、右焦點(diǎn)， 是橢圓 上的一點(diǎn)，且 ，橢圓 的離心率為 .

（1）求橢圓 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線 ： 與橢圓 交于不同兩點(diǎn) ， ，橢圓 上存在點(diǎn) ，使得以 ， 為鄰邊的四邊形 為平行四邊形（ 為坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（ⅰ）求實(shí)數(shù) 與 的關(guān)系；

（ⅱ）證明：四邊形 的面積為定值.

Answer 1

【答案】(1) (2)①② 四邊形 的面積為定值，且定值為

【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意得到， ，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程得到二次方程，根據(jù)題意得到，由韋達(dá)定理得到P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在橢圓上得到參數(shù)值關(guān)系；（3）先由弦長公式得到，由點(diǎn)線距得到三角形高度，再根據(jù)四邊形面積公式，進(jìn)而得到定值.

解析：

（1）依題意， ，即 .

又 ，∴

∴

故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）（ⅰ）由 消 得 .

則

設(shè) ， ，則 ， .

∴

∵四邊形 為平行四邊形.

∴

∴點(diǎn) 坐標(biāo)為

∵點(diǎn) 在橢圓 上，

∴ ，整理得

（ⅱ）∵

又點(diǎn) 到直線 ： 的距離為

∴四邊形 的面積

故四邊形 的面積為定值，且定值為 .