Question

【題目】如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，H是CF的中點．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直線DH與平面BDEF所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角H﹣BD﹣C的大�。�

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD．

又∵平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD=BD，

且AC平面ABCD，

∴AC⊥平面BDEF；

（Ⅱ）解：設AC∩BD=O，取EF的中點N，連接ON，

∵四邊形BDEF是矩形，O，N分別為BD，EF的中點，

∴ON∥ED，

∵ED⊥平面ABCD，

∴ON⊥平面ABCD，

由AC⊥BD，得OB，OC，ON兩兩垂直．

∴以O為原點，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，如圖建立空間直角坐標系．

∵底面ABCD是邊長為2的菱形，∠BAD=60°，BF=3，

∴A（0，﹣ ，0），B（1，0，0），D（﹣1，0，0），E（﹣1，0，3），F(xiàn)（1，0，3），C（0， ，0），H（ ， ， ）

∵AC⊥平面BDEF，

∴平面BDEF的法向量 =（0，2 ，0）．

設直線DH與平面BDEF所成角為α，

∵ =（ ， ， ），

∴sinα=|cos＜ ， ＞|=| |= ，

∴直線DH與平面BDEF所成角的正弦值為 ；

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得 =（﹣ ， ， ）， =（2，0，0）．

設平面BDH的法向量為 =（x，y，z），則

令z=1，得 =（0，﹣ ，1）

由ED⊥平面ABCD，得平面BCD的法向量為 =（0，0，﹣3），

則cos＜ ， ＞= =﹣ ，

由圖可知二面角H﹣BD﹣C為銳角，

∴二面角H﹣BD﹣C的大小為60°．

【解析】（I）由面面垂直的性質可證AC與平面BDEF垂直；（Ⅱ）以O為原點，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面BDEF的法向量，即可求直線DH與平面BDEF所成角的正弦值；（Ⅲ）求出平面BDH、平面BCD的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角H﹣BD﹣C的大小．
【考點精析】本題主要考查了空間角的異面直線所成的角的相關知識點，需要掌握已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能正確解答此題．