Question

【題目】已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求實數(shù)的值；

（2）若存在，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)在上不存在最值，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ;(2) ;(3) .

【解析】試題分析：由 ；（2）不等式可化為

，又單調(diào)增函數(shù)

存在 ，使 ，利用均值不等式可得 . (3)化簡函數(shù)，令 原命題等價于函數(shù) 在 上不存在最值 成立令 ，再利用導(dǎo)數(shù)工具求得： .

試題解析：（1）解：因為在定義域上是奇函數(shù)，

所以

即恒成立，

所以，此時

（2） 因為

所以

又因為在定義域上是奇函數(shù)，

所以

又因為恒成立

所以在定義域上是單調(diào)增函數(shù)

所以存在，使不等式成立

等價于存在， 成立

所以存在，使，即

又因為，當且僅當時取等號

所以，即

注：也可令

①對稱軸時，即

在是單調(diào)增函數(shù)的。

由不符合題意

②對稱軸時，即

此時只需得或者

所以

綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.

(3)函數(shù)

令

則在不存在最值等價于

函數(shù)在上不存在最值

由函數(shù)的對稱軸為得： 成立

令

由

所以在上是單調(diào)增函數(shù)

又因為 ，所以實數(shù)的取值范圍為：