Question

某工廠生產甲、乙兩種產品，每種產品都是經過第一和第二工序加工而成，兩道工序的加工結果相互獨立，每道工序的加工結果均有A、B兩個等級．對每種產品，兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，其余均為二等品．
（Ⅰ）已知甲、乙兩種產品每一道工序的加工結果為A級的概率如表一所示，分別求生產出的甲、乙產品為一等品的概率P_甲、P_乙；

產品\概率\工序	第一工序	第二工序
甲	0.8	0.85
乙	0.75	0.8

（Ⅱ）已知一件產品的利潤如表二所示，用ξ、η分別表示一件甲、乙產品的利潤，在（I）的條件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；

產品\利潤\等級	一等	二等
甲	5（萬元）	2.5（萬元）
乙	2.5（萬元）	1.5（萬元）

（Ⅲ）已知生產一件產品需用的工人數(shù)和資金額如表三所示．該工廠有工人40名，可用資金60萬元．設x、y分別表示生產甲、乙產品的數(shù)量，在（II）的條件下，x、y為何值時，z=xEξ+yEη最大？最大值是多少？（解答時須給出圖示）

產品\用量\項目	工人（名）	資金（萬元）
甲	8	5
乙	2	10

Answer 1

分析：這是一道概率，分布列、數(shù)學期望與線性規(guī)劃的綜合問題，（1）根據兩道工序的加工結果都為A級時，產品為一等品，故生產出的甲、乙產品為一等品的概率P_甲、P_乙就是求甲乙兩種產品的兩道工序的加工結果都為A級的概率．（2）我們要根據題目已知，分別求出隨機變量ξ、η的取值，并分析每總取值的概率，即可得到隨機變量ξ、η的分布列，進而求出各自的數(shù)學期望．（3）由（2）的結論，我們不難得到x，y滿足的不等關系，即約束條件，和目標函數(shù)，用線性規(guī)劃的方法解決問題．

解答：解：（Ⅰ）P_甲=0.8×0.85=0.68，P_乙=0.75×0.8=0.6．
（Ⅱ）隨機變量ξ、η的分別列是

Eξ=5×0.68+2.5×0.32=4.2，Eη=2.5×0.6+1.5×0.4=2.1．
（Ⅲ）由題設知

5x+10y≤60 8x+2y≤40 x≥0 y≥0.

目標函數(shù)為z=xEξ+yEη=4.2x+2.1y．
作出可行域（如圖）：
作直線l：4.2x+2.1y=0，
將l向右上方平移至l₁位置時，直線經過可行域上的點M點與原點距離最大，
此時z=4.2x+2.1y
取最大值．解方程組

5x+10y=60 8x+2y=40.

得x=4，y=4．即x=4，y=4時，z取最大值，z的最大值為25.2．

點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．