Question

如圖，在正三棱柱ABC一DEF中，AB=2，AD=1，P是CF的延長線上一點，過A、B、P三點的平面交FD于M，交EF于N．
（I）求證：MN∥平面CDE：
（II）當平面PAB⊥平面CDE時，求三梭臺MNF-ABC的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，平面與平面平行的性質(zhì)定理，可得AB∥MN，結合DE∥AB得到DE∥MN，最后用線面平行的判定定理，可證出MN∥平面CDE．
（II）取AB中點G、DE中點H，連接PG、CH，利用線面平行的性質(zhì)結合面面垂直的性質(zhì)，可得PG⊥CH，再由平面幾何知識得Rt△PCG∽Rt△HGC，算出PF=2，進而得到FM=且△PMN是等邊三角形，最后利用兩個三棱錐體積相減即可得到三梭臺MNF-ABC的體積．
解答：解：（Ⅰ）∵正三棱柱ABC一DEF中，平面ABC∥平面DEF，平面PAB∩平面DEF=MN，平面PAB∩平面ABC=AB，
所以AB∥MN；…（2分）
又∵平行四邊形ABED中，DE∥AB，∴DE∥MN，； …（4分）
∵MN?平面CDE，DE⊆平面CDE，
∴MN∥平面CDE…（6分）
（Ⅱ）取AB中點G、DE中點H，連接PG、CH，則
由GH∥PC知P、C、G、H在同一平面上，并且由PA=PB知PG⊥AB，
類似于（Ⅰ）的證明方法可得AB平行于平面PAB與平面CDE的交線，
因此PG也垂直于該交線，
由此可得，若平面PAB⊥平面CDE，則PG⊥平面CDE，可得PG⊥CH
根據(jù)平面幾何知識，得Rt△PCG∽Rt△HGC，所以=…（8分）
設PF=t，則=，可得t=2…（10分）
從而，得到MF=
∴V_NMF-ABC=V_P-ABC-V_P-MNF=×[2²×3-（）²×2]=…（13分）
點評：本題在一個正三棱柱中探索面面垂直問題，并求截出三棱臺的體積，著重考查了線面位置關系、臺體體積求法等有關知識，考查學生空間想象能力，屬于中等題．